Question

11．在△ABC中，CD，BD交于點(diǎn)D，且∠A=α，請你探究下列情況∠D與∠A之間的關(guān)系，并求出∠D的度數(shù)．
（1）如圖①，BD，CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線；
（2）如圖②，BD是∠ABC的平分線，CD是∠ACB的外角的平分線；
（3）如圖③，BD，CD分別是∠ABC和∠ACB的外角的平分線．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠DBC、∠DCB與∠A的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；
（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，再根據(jù)角平分線的定義可得∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，然后整理可得∠D=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）先根據(jù)外角平分線的性質(zhì)求出∠DBC、∠DCB與∠A的關(guān)系，再由三角形內(nèi)角和定理解答即可．

解答 解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BDC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$α；

（2）由三角形的外角性質(zhì)，∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，
∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠D+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=α，
∴∠D=$\frac{1}{2}α$；

（3）解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-$\frac{1}{2}$（2∠A+180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
即∠BDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A=90°-$\frac{1}{2}α$．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理：（1）三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．