Question

如圖，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB=2，若將△ABC翻折，折痕EF分別交邊AC、邊BC于點E和點F（點E不與A點重合，點F不與B點重合），且點C落在AB邊上，記作點D．過點D作DK⊥AB，交射線AC于點K，設(shè)AD=x，y=cot∠CFE，
（1）求證：△DEK∽△DFB；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；
（3）聯(lián)結(jié)CD，當(dāng)

CD

EF

=

3

2

時，求x的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題,等腰三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,軸對稱的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）要證△DEK∽△DFB，只需證到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；
（2）易得DK=DA=x，DB=2-x，由△DFB∽△DEK可得到

DF

DE

=

DB

DK

，從而可得y=cot∠CFE=cot∠DFE=

DF

DE

=

DB

DK

=

2-x

x

；然后只需先求出在兩個臨界位置（點F在點B處、點E在點A處）下的x值，就可得到該函數(shù)的定義域；
（3）取線段EF的中點O，連接OC、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OC=OD=

1

2

EF．設(shè)EF與CD交點為H，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF⊥CD，且CH=DH=

1

2

CD．由

CD

EF

=

3

2

可得tan∠HOC=

CH

CO

=

3

2

，從而得到∠HOC=60°．①若點K在線段AC上，如圖2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y(tǒng)的值，再把y的值代入函數(shù)解析式就可求出x的值；②若點K在線段AC的延長線上，如圖3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y(tǒng)的值，再把y的值代入函數(shù)解析式就可求出x的值．

解答：（1）證明：如圖1，

由折疊可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，
∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，
∴△DEK∽△DFB；

（2）解：∵∠A=∠AKD=45°，
∴DK=DA=x．
∵AB=2，
∴DB=2-x．
∵△DFB∽△DEK，
∴

DF

DE

=

DB

DK

，
∴y=cot∠CFE=cot∠DFE=

DF

DE

=

DB

DK

=

2-x

x

．
當(dāng)點F在點B處時，
DB=BC=AB•sinA=2×

2

2

=

2

，AD=AB-AD=2-

2

；
當(dāng)點E在點A處時，
AD=AC=AB•cosA=2×

2

2

=

2

；
∴該函數(shù)的解析式為y=

2-x

x

，定義域為2-

2

＜x＜

2

；

（3）取線段EF的中點O，連接OC、OD，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴OC=OD=

1

2

EF．
設(shè)EF與CD交點為H，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF⊥CD，且CH=DH=

1

2

CD．
∵

CD

EF

=

3

2

，∴tan∠HOC=

CH

CO

=

3

2

，
∴∠HOC=60°
①若點K在線段AC上，如圖2，

∵CO=

1

2

EF=OF，
∴∠OCF=∠OFC=

1

2

∠HOC=30°，
∴y=cot30°=

3

，
∴

2-x

x

=

3

，
解得：x=

3

-1；
②若點K在線段AC的延長線上，如圖3，

∵OC=OF，∠FOC=60°，
∴△OFC是等邊三角形，
∴∠OFC=60°，
∴y=cot60°=

3

3

，
∴

2-x

x

=

3

3

，
解得：x=3-

3

；
綜上所述：x的值為

3

-1或3-

3

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，在解決本題的過程中還用到了臨界值法、分類討論的思想，而運用（1）中的結(jié)論則是解決第（2）小題的關(guān)鍵，取EF的中點O，將

CD

EF

轉(zhuǎn)化為

CH

CO

則是解決第（3）小題的關(guān)鍵．