Question

18．某工藝品廠生產(chǎn)一種汽車裝飾品，每件生產(chǎn)成本為20元，銷售價格在30元至80元之間（含30元和80元），銷售過程中的管理、倉儲、運輸?shù)雀鞣N費用（不含生產(chǎn)成本）總計50萬元，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）當(dāng)30≤x≤60時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出該廠生產(chǎn)銷售這種產(chǎn)品的純利潤w（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數(shù)關(guān)系式；
（3）銷售價格應(yīng)定為多少元時，獲得利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）由圖象知，當(dāng)30≤x≤60時，圖象過（60，2）和（30，5），運用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）根據(jù)銷售產(chǎn)品的純利潤=銷售量×單個利潤，分30≤x≤60和60＜x≤80列函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)30≤x≤60時，運用二次函數(shù)性質(zhì)解決，當(dāng)60＜x≤80時，運用反比例函數(shù)性質(zhì)解答．

解答 解：（1）當(dāng)x=60時，y=$\frac{120}{60}$=2，
∴當(dāng)30≤x≤60時，圖象過（60，2）和（30，5），
設(shè)y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=5}\\{60k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-0.1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=-0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)30≤x≤60時，W=（x-20）y-50=（x-20）（-0.1x+8）-50=-0.1x²+10x-210，
當(dāng)60＜x≤80時，W=（x-20）y-50=（x-20）•$\frac{120}{x}$-50=-$\frac{2400}{x}$+70，
綜上所述：W=$\left\{\begin{array}{l}{-0.1{x}^{2}+10x-210（30≤x≤60）}\\{-\frac{2400}{x}+70（60＜x≤80）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)30≤x≤60時，W=-0.1x²+10x-210=-0.1（x-50）²+40，
當(dāng)x=50時，W最大=40（萬元）；
當(dāng)60＜x≤80時，W=-$\frac{2400}{x}$+70，
∵-2400＜0，W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=80時，W最大=-$\frac{2400}{80}$+70=40（萬元），
答：當(dāng)銷售價格定為50元/件或80元/件，獲得利潤最大，最大利潤是40萬元．

點評 本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用．分段討論和數(shù)學(xué)建模是解決本題的關(guān)鍵所在．