Question

8．如圖1，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=90°，點M為AB中點，點D在弧$\widehat{BC}$上，連接CD、BD，點G是CD的中點，連結MG．
（1）求證：MG⊥CD；
（2）如圖2，若AC=BC，AD平分∠BAC，AD與BC交于點E，延長BD，與AC的延長線交于點F，求證：CF=CE；
（3）在（2）的條件下，若OG•DE=3（2-$\sqrt{2}$），求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可得OC=OD，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）只要證明△ACE≌△BCF，即可解決問題；
（3）（2）過點O作OH⊥BD于H，根據(jù)垂徑得BH=DH，則根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得AD=2OH，再利用∠CAD=∠BAD得CD=BD，根據(jù)弦心距相等，對應的弦相等得到OH=OG，接著證明Rt△BDE∽Rt△ADB，利用相似比得到BD²=AD•DE=2OH•DE=2OG•DE=6（2-$\sqrt{2}$），再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得DF=BD，AB=AF，即BF=2BD，所以BF²=4BD²=24（2-$\sqrt{2}$），設AC=x，則BC=x，AB=$\sqrt{2}$x=AF，得到CF=AF-AC=（ $\sqrt{2}$-1）x，在Rt△BCF中，∵根據(jù)勾股定理得[$\sqrt{2}$-1）x]²+x²=24（2-$\sqrt{2}$），解得x=2 $\sqrt{3}$或x=-2 $\sqrt{3}$（舍去），則AB=$\sqrt{2}$x=2 $\sqrt{6}$，于是得到半徑OA=$\sqrt{6}$，最后利用圓的面積公式計算即可；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直徑，點M與O重合，
∴∠ADB=90°，
∵OA=OB，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB，OD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CO=OD，∵CG=GD，
∴CG⊥CD，
即MG⊥CD．

（2）證明：如圖2中，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴CE=CF．


（3）解：過點O作OH⊥BD于H，則BH=DH，

則OH=$\frac{1}{2}$AD，即AD=2OH，
又∵∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
∴OH=OG，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD²=AD•DE=2OH•DE=2OG•DE=6（2-$\sqrt{2}$），
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BF，
而AD平分∠BAC，
∴AB=AF，
∴BD=FD，
∴BF=2BD，
∴BF²=4BD²=24（2-$\sqrt{2}$），
設AC=x，則BC=x，AB=$\sqrt{2}$x，
∴AF=$\sqrt{2}$x，
∴CF=AF-AC=$\sqrt{2}$x-x=（ $\sqrt{2}$-1）x，
在Rt△BCF中，∵CF²+BC²=BF²，
∴[$\sqrt{2}$-1）x]²+x²=24（2-$\sqrt{2}$），
∴x²=12，解得x=2 $\sqrt{3}$或x=-2 $\sqrt{3}$（舍去），
∴AB=$\sqrt{2}$x=2 $\sqrt{6}$，
∴OA=$\sqrt{6}$，
∴⊙O面積=π•（ $\sqrt{6}$）²=6π．

點評 本題考查了圓的綜合題、垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．