Question

如圖1，在⊙O中，E是

AB

的中點(diǎn)，C為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點(diǎn)F，EB=

2

3

r（r是⊙O的半徑）．
（1）D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切；
（2）求EF•EC的值；
（3）如圖2，當(dāng)F是AB的四等分點(diǎn)時(shí)，求EC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,勾股定理的應(yīng)用,垂徑定理,圓周角定理,切線的判定,相似三角形的應(yīng)用

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，由E是

AB

的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得到OE⊥AB，則∠HEF+∠HFE=90°，由對(duì)頂相等得∠HFE=∠CFD，則∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得直線DC與⊙O相切；
（2）由

AE

=

BE

，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判斷△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF•EC=BE²=（

2

3

r）²=

4

9

r²；
（3）如圖2，連接OA，由

AE

=

BE

得AE=BE=

2

3

r，設(shè)OH=x，則HE=r-x，根據(jù)勾股定理，在Rt△OAH中有AH²+x²=r²；在Rt△EAH中由AH²+（r-x）²=（

2

3

r）²，利用等式的性質(zhì)得x²-（r-x）²=r²-（

2

3

r）²，即得x=

7

9

r，則HE=r-

7

9

r=

2

9

r，在Rt△OAH中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AH=

4 2 r

9

，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分點(diǎn)，所以HF=

1

2

AH=

2 2 r

9

，于是在Rt△EFH中可計(jì)算出EF=

2 3

9

r，然后利用（2）中的結(jié)論可計(jì)算出EC．

解答：（1）證明：連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，
∵E是

AB

的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
而∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°，
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF，
而OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，
∴OC⊥CD，
∴直線DC與⊙O相切；

（2）解：連接BC，
∵E是

AB

的中點(diǎn)，
∴

AE

=

BE

，
∴∠ABE=∠BCE，
而∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB，
∴EF：BE=BE：EC，
∴EF•EC=BE²=（

2

3

r）²=

4

9

r²；

（3）解：如圖2，連接OA，
∵

AE

=

BE

，
∴AE=BE=

2

3

r，
設(shè)OH=x，則HE=r-x，
在Rt△OAH中，AH²+OH²=OA²，即AH²+x²=r²，
在Rt△EAH中，AH²+EH²=EA²，即AH²+（r-x）²=（

2

3

r）²，
∴x²-（r-x）²=r²-（

2

3

r）²，即得x=

7

9

r，
∴HE=r-

7

9

r=

2

9

r，
在Rt△OAH中，AH=

OA2-OH2

=

r2-( 7 9 r)2

=

4 2 r

9

，
∵OE⊥AB，
∴AH=BH，
而F是AB的四等分點(diǎn)，
∴HF=

1

2

AH=

2 2 r

9

，
在Rt△EFH中，EF=

HE2+HF2

=

( 2 9 r)2+( 2 2 9 r)2

=

2 3

9

r，
∵EF•EC=

4

9

r²，
∴

2 3

9

r•EC=

4

9

r²，
∴EC=

2 3

3

r．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理；會(huì)利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算，利用相似三角形的知識(shí)解決有關(guān)線段等積的問題．