Question

如圖所示，⊙O中，AB、CD是弦，點E、F是AB、CD的中點，并且AB=CD．
（1）求證：∠AEF=∠CFE；
（2）若∠EOF=120°，OE=4cm，求EF的長．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）利用同圓或等圓中相等的弦所對的弧、弦心距相等可得EO=FO，進(jìn)而得到∠OEF=∠OFE，從而可得∠AEO-∠FEO=∠CFO-∠OFE，進(jìn)而得到∠AEF=∠CFE；
（2）過O作OM⊥EF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠OEF=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半可得MO長度，利用勾股定理計算出EM長，進(jìn)而可得EF長．

解答：（1）證明：∵點E、F是AB、CD的中點，
∴EO⊥AB，F(xiàn)O⊥CD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
∴OE和OF是圓的兩條弦的弦心距，
∵AB，CD是⊙O的兩條弦，AB=CD，
∴EO=FO，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠AEO-∠FEO=∠CFO-∠OFE，
∴∠AEF=∠CFE；

（2）過O作OM⊥EF，
∵∠EOF=120°，
∴∠OEF=30°，
∴MO=

1

2

EO=2，
∴EM=

EO2-MO2

=

16-4

=2

3

，
∴EF=4

3

．

點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確的將證明弦心距轉(zhuǎn)化為證明兩弦相等．