Question

5．若正實數(shù)x、y、z、r滿足：（1）x²+y²=z²；（2）z$\sqrt{{x}^{2}-{r}^{2}}$=x²，求證：xy=zr（提示：可根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形和其斜邊上的高來證明）．

Answer 1

分析 由條件（1）可構(gòu)造直角三角形ABC，使AC=y，BC=x，AB=z，如圖，由條件（2）聯(lián)想射影定理，作斜邊AB上的高CD，知CD=r，由三角形面積公式知AB•CD=AC•BC，即xy=zr．

解答 解：設(shè)AC=y，BC=x，AB=z
∵x²+y²=z²，
∴△ACB是直角三角形，
設(shè)CD是AB邊上的高線，
∵z$\sqrt{{x}^{2}-{r}^{2}}$=x²，
∴BD×AB=BC²，
故CD⊥AB，
∴AB•CD=AC•BC，
即xy=zr．

點評 本題考查了勾股定理的逆定理的應用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形和其斜邊上的高來證明．