Question

3．如圖，將拋物線M₁：y=ax²+4x向右平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到拋物線M₂，直線y=x與M₁的一個(gè)交點(diǎn)記為A，與M₂的一個(gè)交點(diǎn)記為B，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-3．
（1）求a的值及M₂的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，在CD的右側(cè)作正方形CDEF．
①當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2時(shí)，直線y=x+n恰好經(jīng)過正方形CDEF的頂點(diǎn)F，求此時(shí)n的值；
②在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，若直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點(diǎn)，求n的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A橫坐標(biāo)代入y=x，即可得出點(diǎn)A縱坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A在拋物線M₁：y=ax²+4x上，代入即可得出a的值，將拋物線M₁化為頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的原則即可得出拋物線M₂；
（2）①把點(diǎn)C橫坐標(biāo)代入y=x，即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)F坐標(biāo)，把點(diǎn)F代入y=x+n即可得出n的值；
②根據(jù)直線y=x+n與正方形CDEF始終沒有公共點(diǎn)，直接可得出n的取值范圍．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A在直線y=x，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-3，
∴A（-3，-3），
把A（-3，-3）代入y=ax²+4x，
解得a=1．
∴M₁：y=x²+4x，頂點(diǎn)為（-2，-4）．
∴M₂的頂點(diǎn)為（1，-1）．
∴M₂的表達(dá)式為y=x²-2x．

（2）①由題意，C（2，2），
∴F（4，2）．
∵直線y=x+n經(jīng)過點(diǎn)F，
∴2=4+n．
解得n=-2．

②由題意得：n的取值范圍是n＞3，n＜-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)：用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移，掌握上加下減，左加右減的法則是解題的關(guān)鍵．