Question

如圖，正六邊形ABCDEF的半徑為4，M、N分別為邊AF、CD的中點，則四邊形MBNE的面積為

 

．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：如圖，作輔助線，首先求出BE、MN的長；證明四邊形MBNE為菱形，問題即可解決．

解答：解：如圖，連接OM、ON、OB、OC、OD、OE；
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=

1

6

×360°=60°，
∠BCN=∠EDN，BC=CD=DE；而OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，∠BOC+∠COD+∠DOE=180°，
∴BC=OB=4，B、O、E三點共線，BE=2OB=8；
同理可求MN=BE=8；
在△BCN與△EDN中，

BC=ED ∠BCN=∠EDN CN=DN

，
∴△BCN≌△EDN（SAS），
∴BN=EN；同理可求NE=EM=MB，
∴四邊形MBNE是菱形，
∵在△OCD中，ON=2

3

，
∴MN=4

3

，
∴S菱形MBNE=

1

2

BE•MN=

1

2

×8×4

3

=16

3

．

點評：該題主要考查了圓內接正多邊形的性質及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．