Question

3．如圖，P（1，1），PE⊥PF，O為△OEF的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，O₁M⊥EF于M．
（1）求證：2O₁M=OE+OF-EF；
（2）若ME、MF的長度分別為x²-mx+2m-1=0的兩根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）過O₁作O₁A⊥x軸于A，O₁B⊥y軸于B，連接O₁E，O₁F，得到O₁A=O₁B=O₁M，推出四邊形OAO₁B是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到O₁A=O₁B=OA=OB=O₁M，證得Rt△AO₁E≌△RtMO₁E，同理Rt△BO₁F≌△RtMO₁F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=ME，BF=MF即可得到結(jié)論；
（2）過P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，得到PC=PD=1=OC=OD，證得△PDF≌△PCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=CE，求得OF=DF-OD=CE-1=OE-OC-1=OE-2，得到ME=MF=AE-BF=（OE-OA）-（OF-OB）=OE-OF=2，求得（ME-MF）²=4，即（ME+MF）²-4ME•MF=4，根據(jù)ME、MF的長度分別為x²-mx+2m-1=0的兩根，于是得到ME+MF=m，ME•MF=2m-1，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過O₁作O₁A⊥x軸于A，O₁B⊥y軸于B，連接O₁E，O₁F，∴O₁A=O₁B=O₁M，∵∠O₁AO=90°，∠O₁BO=90°，∠AOB=90°，
∴四邊形OAO₁B是正方形，
∴O₁A=O₁B=OA=OB=O₁M，
在Rt△AO₁E與△RtMO₁E中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{O}_{1}=M{O}_{1}}\\{{O}_{1}E={O}_{1}E}\end{array}\right.$，
∴Rt△AO₁E≌△RtMO₁E，同理Rt△BO₁F≌△RtMO₁F，
∴AE=ME，BF=MF，
∴2O₁M=OA+OB=OE-AE+OF-BF=OE+OF-ME-MF=OE+OF-EF；

（2）過P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，
∴PC=PD=1=OC=OD，
∵∠CPD=90°，∠EPF=90°，
∴∠DPF=∠CPE，
在△PDF與△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDF=∠PCE}\\{PD=PC}\\{∠DPF=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PCE，
∴DF=CE，
∴OF=DF-OD=CE-1=OE-OC-1=OE-2，
∴ME-MF=AE-BF=（OE-OA）-（OF-OB）=OE-OF=2，
∴（ME-MF）²=4，即（ME+MF）²-4ME•MF=4，
∵M(jìn)E、MF的長度分別為x²-mx+2m-1=0的兩根，
∴ME+MF=m，ME•MF=2m-1，
∴m²-4（2m-1）=4，
解得：m=8，或m=0（舍去），
∴m的值是8．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．