Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的解析式；
（2）直線DE為這條拋物線的對稱軸，請?jiān)谥本�DE上找一點(diǎn)M，使△ACM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)做直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A，P，Q，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0，解方程求出A、B的坐標(biāo)，把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求解即可；
（2）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接BC，與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，然后求出直線BC的解析式，再求解即可；
（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊和右邊兩種情況，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，從點(diǎn)A、C的坐標(biāo)關(guān)系，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則-x²+2x+3=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
令x=0，則y=3，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
則

-k+b=0 b=3

，
解得

k=3 b=3

．
所以，直線AC的解析式為y=3x+3；

（2）∵A、B關(guān)于對稱軸直線x=1對稱軸，
∴直線BC與對稱軸的交點(diǎn)即為直線DE上使△ACM的周長最小的點(diǎn)，
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
則

3m+n=0 n=3

，
解得

m=-1 n=3

，
所以，直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）；

（3）∵直線l∥AC，
∴PQ∥AC且PQ=AC，
∵A（-1，0），C（0，3），
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），
則①若點(diǎn)Q在x軸上方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x+1，3），
此時(shí)，-（x+1）²+2（x+1）+3=3，
解得x₁=-1（舍去），x₂=1，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3），
②若點(diǎn)Q在x軸下方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x-1，-3），
此時(shí)，-（x-1）²+2（x-1）+3=-3，
整理得，x2-4x-3=0，
解得x₁=2+

7

，x₂=2-

7

，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+

7

，-3）或（1-

7

，-3），
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，3）或（1+

7

，-3）或（1-

7

，-3）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱確定最短路線問題，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，（2）確定出點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵，（3）難點(diǎn)在于分情況討論．