Question

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），直線x=1交x軸于點(diǎn)B．點(diǎn)為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點(diǎn)C．過(guò)P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交直線x=1于點(diǎn)N．記AP=x，△PBC的面積為S．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求證：△OPM≌△PCN；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng)，求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，直接寫出所有能使△PAC成為等腰三角形的x的值；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)∠OPC=90°和同角的余角相等，我們可得出△OPM和△PCN中兩組對(duì)應(yīng)角相等，要證兩三角形全等，必須有相等的邊參與，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么△AMP也是個(gè)等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我們可得出OM=PN，由此我們可得出兩三角形全等．
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)C在第一象限時(shí)，②點(diǎn)C在第四象限時(shí)．分別利用S=S_△PBC=

1

2

BC•PN求解即可．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)C在第一象限時(shí)，要想使PCB為等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此時(shí)P與A重合，那么P的坐標(biāo)就是A的坐標(biāo)．②當(dāng)C在第四象限時(shí)，要想使PCB為等腰三角形，那么PB=BC，在等腰RT△PBN中，我們可以用x表示出BP的長(zhǎng)，也就表示出了BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用這兩個(gè)含未知數(shù)x的式子得出關(guān)于x的方程來(lái)求出x的值．那么也就求出了PM、OM的長(zhǎng)，也就得出了P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：證明：（1）如圖，

∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°
∴四邊形OBNM為矩形
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°
∵M(jìn)N∥OB
∴∠2=∠3=45°
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6
∴△OPM≌△PCN
（2）解：①點(diǎn)C在第一象限時(shí)，
∵AM=PM=APsin45°=

2

2

x
∴OM=PN=1-

2

2

x，
∵△OPM≌△PCN
∴CN=PM=

2

2

x，
∴BC=OM-CN=1-

2

2

x-

2

2

x=1-

2

x，
∴S=S_△PBC=

1

2

BC•PN=

1

2

×（1-

2

2

x）•（1-

2

x）=

1

2

x²-

3 2

2

x+

1

2

（0≤x＜

2

2

）．
②如圖1，點(diǎn)C在第四象限時(shí)，

∵AM=PM=APsin45°=

2

2

x
∴OM=PN=1-

2

2

x，
∵△OPM≌△PCN
∴CN=PM=

2

2

x，
∴BC=CN-OM=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
∴S=S_△PBC=

1

2

BC•PN=

1

2

×（1-

2

2

x）•（

2

x-1）=

1

2

x²-

3 2

2

x+

1

2

（

2

2

＜x＜

2

）．
（3）解：△PBC可能成為等腰三角形
①當(dāng)P與A重合時(shí)，PC=BC=1，此時(shí)P（0，1）
②如圖，當(dāng)點(diǎn)C在第四象限，且PB=CB時(shí)

有BN=PN=1-

2

2

x
∴BC=PB=

2

PN=

2

-x
∴NC=BN+BC=1-

2

2

x+

2

-x
由（2）知：NC=PM=

2

2

x
∴1-

2

2

x+

2

-x=

2

2

x
整理得（

2

+1）x=

2

+1
∴x=1
∴PM=

2

2

x=

2

2

，BN=1-

2

2

x=1-

2

2

，
∴P（

2

2

，1-

2

2

）
由題意可知PC=PB不成立
∴使△PBC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（

2

2

，1-

2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及全等三角形的判定及等腰三角形的性質(zhì)；分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．