Question

13．設(shè)a，b，c＞0，求證：（a+$\frac{1}$）（b+$\frac{1}{c}$）（c+$\frac{1}{a}$）≥8．

Answer 1

分析 先根據(jù)分式的運(yùn)算可得原式=$\frac{ab+1}$•$\frac{bc+1}{c}$•$\frac{ac+1}{a}$，再均值不等式即可得．

解答 解：∵a，b，c＞0
∴（a+$\frac{1}$）（b+$\frac{1}{c}$）（c+$\frac{1}{a}$）=$\frac{ab+1}$•$\frac{bc+1}{c}$•$\frac{ac+1}{a}$≥$\frac{2\sqrt{ab}•2\sqrt{bc}•2\sqrt{ac}}{abc}$=8，
即（a+$\frac{1}$）（b+$\frac{1}{c}$）（c+$\frac{1}{a}$）≥8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式的混合運(yùn)算及均值不等式的運(yùn)用，熟練掌握均值不等式是解題的關(guān)鍵．