Question

如圖所示，PA、PB為⊙O的切線，M、N是PA、AB的中點，連接MN交⊙O點C，連接PC交⊙O于D，連接ND交PB于Q，求證：MNQP為菱形．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),菱形的判定

專題：證明題

分析：首先連接OA，OB，OC，OD，OP．由M、N是PA、AB的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得MN∥BP，又由PA、PB為⊙O的切線，可得AB⊥OP，即可證得MN=PM，然后由射影定理與切割線定理證得O，C，D，N四點共圓，繼而證得MP∥NQ，則可得四邊形MNQP是平行四邊形，證得四邊形MNQP是菱形．

解答：證明：連接OA，OB，OC，OD，OP．
∵AN=NB，AM=MP．
∴MN∥BP．
∵PA、PB為⊙O的切線，
∴AB⊥OP．
∴NM=MP，∠MNP=∠MPN，
在Rt△AOP中，由射影定理，得AP²=PN•PO，
由切割線定理，得AP² =PD•PC，
∴PN•PO=PD•PC，
∴O，C，D，N四點共圓，
∴∠PND=∠OCD，∠ONC=∠ODC，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠MNP=∠ONC，
∴∠MNP=∠PND=∠MPN，
∴MP∥NQ，
∴四邊形MNQP是平行四邊形，
∴四邊形MNQP是菱形．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、射影定理、切割線定理以及菱形的判定．此題難度較大，綜合性較強，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．