Question

7．如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4，點C為半圓AB上動點，以BC為邊在⊙O外作正方形BCDE，（點D在直線AB的上方）連接OD．當點C運動時，則線段OD的長（　�。�

• A． 隨點C的運動而變化，最大值為2+2$\sqrt{2}$
• B． 不變
• C． 隨點C的運動而變化，最大值為2$\sqrt{2}$
• D． 隨點C的運動而變化，但無最值

Answer 1

分析 通過旋轉(zhuǎn)觀察如圖可知當DO⊥AB時，DO最長，設DO與⊙O交于點M，連接CM，先證明△MED≌△MEB，得MD=BM．再利用勾股定理計算即可．

解答 解：通過旋轉(zhuǎn)觀察如圖可知當DO⊥AB時，DO最長，設DO與⊙O交于點M，連接CM，
∵∠MCB=$\frac{1}{2}$MOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠DCM=∠BCM=45°，
∵四邊形BCDE是正方形，
∴C、M、E共線，∠DEM=∠BEM，
在△EMD和△EMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BC}\\{∠MED=∠MEB}\\{ME=ME}\end{array}\right.$，
∴△MED≌△MEB，
∴DM=BM=$\sqrt{O{M}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OD的最大值=2+2$\sqrt{2}$．
故選A．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、圓周角定理等知識，解題的關鍵是OD取得最大值時的位置，學會通過特殊位置探究得出結(jié)論，屬于中考�？碱}型．