Question

20．如圖，一張三角形紙片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．現(xiàn)小林將紙片做三次折疊：第一次使點A落在C處；將紙片展平做第二次折疊，使點B落在C處；再將紙片展平做第三次折疊，使點A落在B處．這三次折疊的折痕長依次記為a，b，c，則a，b，c的大小關系是（　�。�

• A． c＞a＞b
• B． b＞a＞c
• C． c＞b＞a
• D． b＞c＞a

Answer 1

分析 （1）圖1，根據(jù)折疊得：DE是線段AC的垂直平分線，由中位線定理的推論可知：DE是△ABC的中位線，得出DE的長，即a的長；
（2）圖2，同理可得：MN是△ABC的中位線，得出MN的長，即b的長；
（3）圖3，根據(jù)折疊得：GH是線段AB的垂直平分線，得出AG的長，再利用兩角對應相等證△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的長，即c的長．

解答 解：第一次折疊如圖1，折痕為DE，
由折疊得：AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，DE⊥AC
∵∠ACB=90°
∴DE∥BC
∴a=DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$
第二次折疊如圖2，折痕為MN，
由折疊得：BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，MN⊥BC
∵∠ACB=90°
∴MN∥AC
∴b=MN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2
第三次折疊如圖3，折痕為GH，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
由折疊得：AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$，GH⊥AB
∴∠AGH=90°
∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB
∴△ACB∽△AGH
∴$\frac{AC}{AG}$=$\frac{BC}{GH}$
∴$\frac{4}{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{GH}$
∴GH=$\frac{15}{8}$，即c=$\frac{15}{8}$
∵2＞$\frac{15}{8}$＞$\frac{3}{2}$
∴b＞c＞a
故選（D）

點評 本題考查了折疊的問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．本題的關鍵是明確折痕是所折線段的垂直平分線，準確找出中位線，利用經(jīng)過三角形一邊中點與另一邊平行的直線必平分第三邊這一性質(zhì)得出對應折痕的長，沒有中位線的可以考慮用三角形相似來解決．