Question

3．如圖①，在△ABC中，AB=7，tanA=$\frac{3}{4}$，∠B=45°．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB．交折線AC-CB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位）．
（1）直接寫出正方形PQMN的邊PQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，求t的值．
（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）如圖②，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-A-B的方向做一次往返運(yùn)動(dòng)，在B-A上的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，在A-B上的速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)H停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止，連結(jié)MH．設(shè)MH將正方形PQMN分成的兩部分圖形面積分別為S₁、S₂（平方單位）（0＜S₁＜S₂），直接寫出當(dāng)S₂≥3S₁時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)．
（2）根據(jù)AP+PN+NB=AB，列出關(guān)于t的方程即可解答；
（3）當(dāng)0＜t≤$\frac{14}{5}$時(shí)，當(dāng)$\frac{14}{5}$＜t≤4，當(dāng)4＜t＜7時(shí)；
（4）$\frac{28}{15}＜t≤\frac{56}{27}$或$\frac{28}{9}≤t≤\frac{56}{15}$或$5≤t＜\frac{21}{4}$．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，PQ=tanA•AP=$\frac{3}{4}$t．
當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，PQ=7-t．
（2）當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，如圖③，

由題意得：t+$\frac{3}{4}$t$+\frac{3}{4}$t=7，
解得：t=$\frac{14}{5}$．
∴當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，求t的值為$\frac{14}{5}$．
（3）當(dāng)0＜t≤$\frac{14}{5}$時(shí)，如圖④，

S=$（\frac{3}{4}t）^{2}$=$\frac{9}{16}{t}^{2}$．
當(dāng)$\frac{14}{5}$＜t≤4，如圖⑤，

$S=\frac{9}{16}{t}^{2}-\frac{1}{2}（\frac{5}{2}t-7）^{2}$=$-\frac{41}{16}{t}^{2}+\frac{35}{2}t-\frac{49}{2}$．
當(dāng)4＜t＜7時(shí)，如圖⑥，

$S=\frac{1}{2}（7-t）^{2}=\frac{1}{2}{t}^{2}-7t+\frac{49}{2}$．
（4）$\frac{28}{15}＜t≤\frac{56}{27}$或$\frac{28}{9}≤t≤\frac{56}{15}$或$5≤t＜\frac{21}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題正方形的性質(zhì)，屬于四邊形綜合題，解決本題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論思想．