Question

3．若關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0，c＞1，a、b、c是常數(shù)）與x軸交于兩個不同的點A（c，0），B（x₀，0），與y軸交于點P，其圖象頂點為點M，點O為坐標(biāo)原點，且當(dāng)0＜x＜c時，總有y＞0．
（1）求常數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)x₁=c時，對于任意給定的常數(shù)a、b、c，若點Q（$\frac{1}{a}$+c，y₀）在對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，過點Q作QK⊥x軸于點K，試問△AQK與△BPO全等嗎？證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)x＞0時，求證：ax（x+1）+bx（x+2）+c（x+1）（x+2）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當(dāng)0＜x＜c時，總有y＞0，建立不等式求出b的范圍；
（2）當(dāng)x₁=c時，對于任意給定的常數(shù)a、b、c，若點Q（$\frac{1}{a}$+c，y₀）在對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，直接確定出AK=BO，QK=PO，即可；
（3）有條件直接得到0＜$\frac{x}{x+1}$＜1，進而當(dāng)自變量取時$\frac{x}{x+1}$，必有函數(shù)值y＞0，化簡即可．

解答 解：（1）由題意可得c、x₀是方程ax²+bx+c=0的兩個根，
所以${x_0}\cdotc=\frac{c}{a}$，所以${x_0}=\frac{1}{a}$．
因為當(dāng)0＜x＜c時，總有y＞0，所以根據(jù)圖象必有${x_0}=\frac{1}{a}$＞c＞0，
所以0＜ac＜1．
又因為ac²+bc+c=0（a＞0，c＞0），
所以b=-ac-1．
常數(shù)b的取值范圍為-2＜b＜-1．
（2）△AQK與△BPO全等．AK=BO，QK=PO，

方法一：因為ac²+bc+c=0，b=-ac-1，
所以${y_0}=a{（\frac{1}{a}+c）^2}+b（\frac{1}{a}+c）+c=\frac{1+b}{a}+2c=-c+2c=c$．
從而$\left\{\begin{array}{l}AK=BO\\ QK=PO\\∠POB=∠QAK={90°}\end{array}\right.⇒$△AQK≌△BPO．
方法二：根據(jù)對稱性可得：點P與點Q關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱，所以y₀=c．
從而$\left\{\begin{array}{l}AK=BO\\ QK=PO\\∠POB=∠QAK={90°}\end{array}\right.⇒$△AQK≌△BPO．
（3）∵當(dāng)0＜x＜1時，總有y＞0．顯然0＜$\frac{x}{x+1}$＜1，
∴當(dāng)自變量取時$\frac{x}{x+1}$，必有函數(shù)值y＞0．      即有0＜$a{（\frac{x}{x+1}）^2}+b\frac{x}{x+1}+c$，
所以0＜$\frac{ax}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{x+1}+\frac{c}{x}=\frac{a}{{x+\frac{1}{x}+2}}+\frac{x+1}+\frac{c}{x}$＜$\frac{a}{x+2}+\frac{x+1}+\frac{c}{x}$．
故當(dāng)x＞0時，ax（x+1）+bx（x+2）+c（x+1）（x+2）＞0．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定，解不等式，解本題的關(guān)鍵是判斷出△AQK≌△BPO，和解不等式．