Question

7．關于x的一元二次方程為（m-1）x²-2mx+m+1=0．
（1）求出方程的根；
（2）m為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)？

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法解方程易得x₁=$\frac{m+1}{m-1}$，x₂=1；
（2）由于x=1為正整數(shù)，則x=$\frac{m+1}{m-1}$為正整數(shù)，先變形為1+$\frac{2}{m-1}$，然后利用整數(shù)的整除性可確定m的值為2或3．

解答 解：（1）[（m-1）x-（m+1）]（x-1）=0，
（m-1）x-（m+1）=0或x-1=0，
所以x₁=$\frac{m+1}{m-1}$，x₂=1；
（2）x=$\frac{m+1}{m-1}$=1+$\frac{2}{m-1}$，
由于m為整數(shù)，
所以當m-1=1或2時，x=$\frac{m+1}{m-1}$為正整數(shù)，此時m=2或m=3，
所以m為2或3時，此方程的兩個根都為正整數(shù)．

點評 本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉(zhuǎn)化思想）．