Question

15．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，BF平分∠ABC，交AD于E，F(xiàn)G∥AD．
（1）求證：AE=AF；
（2）試判斷DE、FG與CD的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，由BF平分∠ABC得到∴∠AFB=∠BED，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AEF=∠AFB，根據(jù)等角對(duì)等邊得到結(jié)論．
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AF=FG，進(jìn)而得出AE=FG，證得△ADC是等腰直角三角形，得出AD=DC，
即可證得ED+FG=DC．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠AFB=∠BED=∠AEF，
∴AE=AF；
（2）解：DE+FG=CD，
證明：∵AD⊥BC，F(xiàn)G∥AD．
∴FG⊥BC，
∵BF平分∠ABC，∠BAC=90°，
∴AF=FG，
∵AE=AF，
∴AE=FG，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AE+ED=DC，
∴ED+FG=DC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．