Question

2．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c與x軸交于點A、B（A左B右）與y軸的正半軸交于點C，P是拋物線的頂點，對稱軸交x軸于點H，點E、C關于直線PH對稱，直線y=$\frac{1}{2}$x+2經(jīng)過點E，交y軸于點D．
（1）如圖1，當CE=4時，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過O點作PC的垂線，交直線PH于點Q，求點Q的縱坐標；
（3）在（1）（2）的條件下，如圖3，連接BD，點G在EC上方的拋物線上，過點G作DE的垂線，交DB于點F，點R在y軸上，連接QR、EF，當EG=EF，GF=2QR時，求線段OR的長．

Answer 1

分析 （1）先求出點E的橫坐標，利用直線DE的解析式求點E的縱坐標，則C（0，4），P的橫坐標為2，根據(jù)頂點坐標公式求出b的值，把點C的坐標代入拋物線的解析式中可求出c的值，寫出拋物線的解析式；
（2）將二次函數(shù)的解析式配方得頂點P的坐標為（2，$\frac{16}{3}$），再求直線PC的解析式，利用PC⊥QO，得到直線OQ的解析式為：y=-$\frac{3}{2}$x，又因為Q在PH上，則Q的橫坐標為2，從而可以求Q的縱坐標；
（3）作輔助線，構建直角三角形和全等三角形，先利用方程求出點B的坐標，則OB=6，證明△ECD≌△EMB，得△DEB是等腰直角三角形；再證△DNG∽△BOD，得$\frac{DN}{BO}=\frac{NG}{OD}$，列方程求出a的值，寫出點G的坐標為（1，5），根據(jù)解析式列方程組求出點F的坐標，利用兩點間距離公式求FG的長，得到QR的長，利用勾股定理求RS的長，分兩種情況求OR的長．

解答 解：（1）如圖1，∵點E、C關于直線PH對稱，
∴CE⊥PH，
∵PH是拋物線的對稱軸，且CE=4，
∴點E的橫坐標為4，
當x=4時，y=$\frac{1}{2}$×4+2=4，
當x=0時，y=2，
∴E（4，4），D（0，2），C（0，4），
把C（0，4）代入y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c得：c=4，
∴點P的橫坐標為2，
則-$\frac{2×（-\frac{1}{3}）}$=2，
b=$\frac{4}{3}$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4；
（2）如圖2，y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{16}{3}$，
∴P（2，$\frac{16}{3}$），
設直線PC的解析式為：y=kx+b，
把P（2，$\frac{16}{3}$）和C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=\frac{16}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線PC的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+4，
∵PC⊥QO，
∴直線OQ的解析式為：y=-$\frac{3}{2}$x，
∵Q在PH上，
∴Q的橫坐標為2，
當x=2時，y=-$\frac{3}{2}$×2=-3，
∴Q（2，-3），
即Q的縱坐標為-3；
（3）如圖3，過G作GN⊥y軸于N，過E作EM⊥x軸于M，過Q作QS⊥y軸于S，連接EB、GD，
設G（a，-$\frac{1}{3}{a}^{2}$+$\frac{4}{3}$a+4），
當y=0時，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴OB=6，
∵E（4，4），
∴EC=EM=4，
∴BM=6-4=2，
∴CD=OC-OD=4-2=2，
∴BM=CD，
∵∠ECD=∠EMB=90°，
∴△ECD≌△EMB，
∴∠DEC=∠BEM，DE=BE，
∵∠ECO=∠COB=∠EMO=90°，
∴四邊形COME是矩形，
∴∠CEM=90°，
∴∠CED+∠DEM=90°，
∴∠DEM+∠BEM=90°，
∴∠DEB=90°，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴∠EDB=45°，
∵GF⊥DF，GE=FE，
∴GK=KF，
在Rt△DKF中，∠EDF=45°，
∴△DKF也是等腰直角三角形，
∴DK=KF，
∴DK=GK，
∴△DKG是等腰直角三角形，
∴∠GDE=45°，
∴∠GDF=90°，
∴∠NDG+∠ODB=90°，
∵∠ODB+∠DBO=90°，
∴∠NDG=∠DBO，
∵∠DNG=∠DOB=90°，
∴△DNG∽△BOD，
∴$\frac{DN}{BO}=\frac{NG}{OD}$，
∴DN•OD=BO•NG，
∴2（-$\frac{1}{3}{a}^{2}$+$\frac{4}{3}$a+4-2）=6a，
解得：a₁=-6（舍），a₂=1，
當a=1時，y=-$\frac{1}{3}{a}^{2}$+$\frac{4}{3}$a+4=-$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$+4=5，
∴G（1，5），
∵直線ED的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+2，且ED⊥FG，
∴設FG的解析式為：y=-2x+b，
把G（1，5）代入得：-2+b=5，
b=7，
∴FG的解析式為：y=-2x+7，
設直線BD的解析式為：y=kx+b，
把B（6，0）和D（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+2，
則有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+2}\\{y=-2x+7}\end{array}\right.$     解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴F（3，1），
∴FG=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-5）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵FG=2QR，
∴QR=$\sqrt{5}$，
∵Q（2，-3），
∴QS=2，OS=3，
由勾股定理得：RS=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=1，
有兩種情況：①當R在S的上方時，OR=OS-RS=3-1=2，
②當R在S的下方時，OR=OS+RS=3+1=4，
∴線段OR的長為2或4．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，并利用解析式表示點的坐標，根據(jù)等量關系式列一元二次方程求出字母的值，寫出點的坐標；將函數(shù)、方程、圖形有機地結合，比較復雜，在計算過程中，利用了兩直線互相垂直，則一次項系數(shù)k為負倒數(shù)；還有兩點間距離公式和勾股定理求線段的長；兩直線的解析式列方程組求其交點坐標；根據(jù)全等和相似的性質得到邊的關系，從而得出結論．