Question

4．如圖，⊙O₁和⊙O₂是外切于點P的兩個等圓，點A、B分別在⊙O₁、⊙O₂上，∠APB=90°，和⊙O₁、⊙O₂的另一個交點分別是C、D．求證：CD=O₁O₂．

Answer 1

分析 連接O₁O₂，AO₁，BO₂，作O₁M⊥AD于M，O₂N⊥AD于N，先證明四邊形ABO₂O₁是平行四邊形，再證明AC=BD即可解決問題．

解答 證明：連接O₁O₂，AO₁，BO₂，作O₁M⊥AD于M，O₂N⊥AD于N．
∵⊙O₁和⊙O₂外切于點P，
∴接O₁O₂經(jīng)過點P，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠APO₁+∠BPO₂=90°，
∵O₁A=O₁P，O₂P=O₂B，
∴∠O₁AP=∠O₁PA，∠O₂PB=∠O₂BP，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AP+∠PAB+∠PBA+∠O₂BP=180°，
∴AO₁∥BO₂，∵AO₁=BO₂，
∴四邊形ABO₂O₁是平行四邊形，
∴AB=O₁O₂=2r．O₁O₂∥AB，
∵O₁M∥O₂N，
∴四邊形MNO₂O₁是平行四邊形，
∴O₁M=O₂N，∵O₁M⊥AD，O₂N⊥AD，
∴AC=BD（弦心距相等弦相等），
∴AB=CD，
∴CD=2r．

點評 本題考查了相切兩個圓的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，學(xué)會條件常用輔助線，屬于中考常考題型．