Question

1．已知：如圖1，在平面直角坐標系中，點A（1，0），B（0，2），將點B沿x軸正方向平移3個單位長度得到對應(yīng)點B′，點B′恰在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上．
（1）求k的值；
（2）如圖2，將△AOB（點O為坐標原點）沿AB翻折得到△ACB，求同一平面內(nèi)點C的坐標；
（3）在同一平面內(nèi)，是否存在這樣的點P，以P為位似中心，將△AOB放大為原來的兩倍后得到△DEF（即△DEF∽△AOB，且相似比為2），使得點D、F恰好在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$ （x＞0）的圖象上？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平移規(guī)律確定出B′的坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，利用對稱性質(zhì)確定出直線OC解析式，聯(lián)立直線AB與直線OC解析式求出線段OC中點坐標，設(shè)出C坐標，求出b的值，即可確定出C坐標；
（3）△AOB放大為原來的兩倍后得到△DEF，且△DEF∽△AOB，則點D和F一定在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)出P與D坐標，根據(jù)該相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式并解答．

解答 解：（1）點B沿x軸正方向平移3個單位長度得到對應(yīng)點B′的坐標是（3，2），
代入y=$\frac{k}{x}$得：k=6；

（2）設(shè)直線AB的解析式是y=mx+n，則$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式是y=-2x+2，
∴OC的解析式是y=$\frac{1}{2}$x．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
設(shè)C的坐標是（b，$\frac{1}{2}$b），
可得：$\frac{1}{2}$b=$\frac{4}{5}$，
解得：b=$\frac{8}{5}$．
則C的坐標是（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）；

（3）如圖3中，△AOB放大為原來的兩倍后得到△DEF，且△DEF∽△AOB，D和F在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)D（m，$\frac{6}{m}$）則易知F（m+2，$\frac{6}{m}$-4），
∴（m+2）（$\frac{6}{m}$-4）=6，
解得m=1或-3（舍棄），
∴D（1，6），F(xiàn)（3，2），
∴直線BD的解析式為y=4x+2
直線AF的解析式為y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x+2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴P（-1，-2），
連接BF、AD，BF交AD于P′，易知P′（1，2），
∴P′（1，2）或P（-1，-2）即為位似中心，（圖只是作為參考�。�
綜上所述，P坐標為（-1，-2）或（1，2）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題．解題時，利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及位似圖形的性質(zhì)．要注意（3）中x的取值范圍．該題難度比較大．