Question

10．如圖，⊙O的直徑AB=4，∠BAC=30°，AC交⊙O于D，D是AC的中點．
（1）過點D作DE⊥BC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）求$\widehat{BD}$與線段DE、BE圍成的陰影面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，易證DO是△ABC的中位線，從而可知OD∥BC，所以∠EDO=∠CED，由于DE⊥BC，從而可知DE是⊙O的切線；
（2）連接BD，分別求出四邊形OBED與扇形OBD的面積，然后即可求出陰影部分面積．

解答 （1）證明：連接OD．
∵D是AC的中點，O是AB的中點，
∴DO是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，則∠EDO=∠CED
又∵DE⊥BC，
∴∠CED=90°，
∴∠EDO=∠CED=90°
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切線，

（2）連接BD
∵AB是直徑
∴∠ADB=90°
∵∠BAC=30°，AB=4
∴∠BOD=2∠ABD=60°
∵OB=OD
∴△OBD是等邊三角形
∴∠ODB=∠BOD=60°，OB=OD=BD=2
∵∠EDO=90°
∴∠BDE=30°
∴在Rt△BDE中 BE=1，DE=$\sqrt{3}$
∴S_陰=S_{四邊形ODEB}-S_扇形OBD=$\frac{（1+2）\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π{×2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$
答：陰影面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及圓周定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定，扇形面積公式，綜合程度較高，屬于中等題型．