Question

6．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E為AB上一點，且AE=2，M為AD上一動點（不與A、D重合），AM=x，連結(jié)EM并延長交CD的延長線于F，過M作MG⊥EF交直線BC于點G，連結(jié)EG、FG．

（1）如圖1，若M是AD的中點，求證：①△AEM≌△DFM；②△EFG是等腰三角形；
（2）如圖2，當(dāng)x為何值時，點G與點C重合？
（3）當(dāng)x=3時，求△EFG的面積．

Answer 1

分析 （1）①與ASA證明①△AEM≌△DFM即可；②由全等三角形的性質(zhì)得出EM=FM，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EG=FG即可；
（2）證明△AEM∽△DMC，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出答案；
（3）證明△AEM∽△NMG，得出對應(yīng)邊成比例求出MN=2AE=4，由勾股定理求出EM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，得出GM=2EM=2$\sqrt{13}$，再證明△DMF∽△NGM，求出MF=$\frac{{5\sqrt{13}}}{3}$，得出EF=EM+MF=$\frac{8\sqrt{13}}{3}$，△EFG的面積=$\frac{1}{2}$EF•GM，即可得出答案．

解答 （1）證明：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠MDF=90°，
∵M(jìn)是AD的中點，
∴AM=DM，
在△AEM和△DFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MDF}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\\{∠AME=∠DMF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△DFM（ASA）；              
②∵△AEM≌△DFM，
∴EM=FM，
又∵M(jìn)G⊥EF，
∴EG=FG，
∴△EFG是等腰三角形；

（2）解：當(dāng)點G與點C重合時，
∵∠A=∠EMC=∠ADC=90°，
∴∠AME+∠CMD=∠CMD+∠DCM，
∴∠AME=∠DCM，
∴△AEM∽△DMC，
∴$\frac{AE}{AM}=\frac{DM}{CD}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{8-x}{6}$，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴當(dāng)x=2或6時，點G與點C重合；

（3）解：過G作GN⊥AD于N，如圖3所示：
∴∠A=∠GNM=90°，GN=CD=6，
∴∠AME+∠NMG=∠NMG+∠NGM=90°，
∴∠AME=∠MGN，
∴△AEM∽△NMG，
∴$\frac{AE}{MN}$=$\frac{EM}{GM}$=$\frac{AM}{GN}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2AE=4，
由勾股定理得：EM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴GM=2EM=2$\sqrt{13}$，
∵AB∥CD，
∴△DMF∽△NGM，
∴$\frac{DM}{AM}=\frac{MF}{EM}$=$\frac{8-3}{3}=\frac{MF}{\sqrt{13}}$，
解得：MF=$\frac{{5\sqrt{13}}}{3}$，
∴EF=EM+MF=$\frac{8\sqrt{13}}{3}$，
∴△EFG的面積=$\frac{1}{2}$EF•GM=$\frac{1}{2}×\frac{{8\sqrt{13}}}{3}×2\sqrt{13}=\frac{104}{3}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理以及三角形面積的計算；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．