Question

13．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，D為⊙O上一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）連接OC，交BD于點F，若OF=2，∠E=30°，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析 （1）連接OD，可以得到∠BDC=∠DBC，∠ODB=∠OBD，進而得出∠ODC=∠OBC=90°，據(jù)此即可得出證明；
（2）可以先求出∠BOD的度數(shù)，由OD=OB，CD=CB，可以證明OC是線段BD的垂直平分線，進而求出OD的長，據(jù)此即可得解．

解答 解：（1）如圖，連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，
∴∠OBC=90°，
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∵CD=CB，∴∠BDC=∠DBC，
∴∠BDC+∠ODB=∠DBC+∠OBD，
即：∠ODC=∠OBC=90°，
∴CD是⊙O的切線；

                   
（2）由（1）知，∠ODE=∠ODC，
∵∠E=30°，∴∠EOD=60°，
∴∠DOB=180°-60°=120°，
∵OD=OB，CD=CB，
∴OC是線段BD的垂直平分線，
∴∠ODF=$\frac{1}{2}$∠DOB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
在Rt△OFD中，OF=2，
∴OD=$\frac{2}{cos60°}$=4，DF=2$\sqrt{3}$，
∴DB=4$\sqrt{3}$，
S_陰影=S_扇形ODB-S_△ODB
=$\frac{120•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2$
=$\frac{16π}{3}$-$4\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了圓的切線的性質與切線的判定，還考查了扇形面積公式，三角形的面積公式等知識點，是基礎題目，要注意總結．