Question

18．四邊形ABCD為菱形，點P為對角線BD上的一個動點．

（1）如圖1，連接AP并延長交BC的延長線于點E，連接 PC，求證：∠AEB=∠PCD．
（2）如圖1，當PA=PD且PC⊥BE時，求∠ABC的度數(shù)．
（3）連接AP并延長交射線BC于點E，連接 PC，若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形，求∠PEC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質(zhì)，易得∠PDA=∠PDC，AD=CD，利用SAS定理證得△PAD≌△PCD，由全等三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到結論；
（2）方法一，首先利用等腰三角形的性質(zhì)得∠PAD=∠PDA，設∠PAD=∠PDA=x，利用外角性質(zhì)易得∠BPC=2x，因為PC⊥BE，得x，得∠ABC的度數(shù)；方法二，利用平行線的性質(zhì)易得CM⊥AD，由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM，得AM=DM，由垂直平分線的性質(zhì)得AC=CD=BC=AB，得△ABC是等邊三角形，得∠ABC的度數(shù)；
（3）分類討論：①當點E在BC的延長線上時，首先利用等腰三角形的性質(zhì)得CP=CE，易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，由正方形的性質(zhì)得∠PBA=∠PBC=45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP，因為∠BAP+∠PEC=90°，求得∠PEC的度數(shù)；②當點E在BC上時，同理得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠PDA=∠PDC，AD=CD  AD∥BC，
在△PAD與△PCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠PDA=∠PDC}\\{PD=PD}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴∠PAD=∠PCD，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PAD=∠PCD；

（2）解：如圖1，
（方法一）∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
設∠PAD=∠PDA=x，則∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x
∵PC⊥BE
∴2x+x=90°，
∴x=30°，
∴∠ABC=2x=60°；
（方法二）：延長CP交AD于M，
∵AD∥BC，PC⊥BC，
∴CM⊥AD
∵PA=PD，
∴△PAM≌△PDM （HL），
∴AM=DM，
∴CM垂直平分AD
連接AC，則AC=CD=BC=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°；

（3）解：①當點E在BC的延長線上時，如圖2，△PCE是等腰三角形，則CP=CE，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
在△ABP與△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠PBA=∠PBC}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP
∵∠BAP+∠PEC=90°，2∠PEC+∠PEC=90°，
∴∠PEC=30°；
②當點E在BC上時，如圖3，△PCE是等腰三角形，則PE=CE，
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°
∴菱形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB=90°，2∠BCP+∠BCP=90°
∴∠BCP=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠PEC=180°-∠AEB=120°，
綜上所述：∠PEC=30°或∠PEC=120°．

點評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，數(shù)形結合，利用方程思想和分類討論是解答此題的關鍵．