27.(2009陜西卷理)(本小題滿分12分)
已知雙曲線C的方程為
，離心率
，頂點到漸近線的距離為
。
(I)求雙曲線C的方程；
(II)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若
，求
面積的取值范圍�！ �
26.(2009陜西卷文)(本小題滿分12分)
已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。21世紀教育網(wǎng) 
(I) 求雙曲線C的方程；
(II)如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍。
解析：
解法1(Ⅰ)由題意知，雙曲線C的頂點(0，a)到漸近線
，
所以
所以
由
所以曲線
的方程是
(Ⅱ)由(Ⅰ)知雙曲線C的兩條漸近線方程為
設(shè)
由
將P點的坐標代入
因為
又
所以
記
則
由
又S(1)=2，
當(dāng)
時，面積取到最小值
，當(dāng)當(dāng)
時，面積取到最大值
所以面積范圍是
解答2(Ⅰ)由題意知，雙曲線C的頂點(0，a)到漸近線，
由
所以曲線的方程是.
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為
由題意知
由
由
將P點的坐標代入
得
設(shè)Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為(0，m)
=
以下同解答1
25.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)
已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，
=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為
，由已知得
，
所以橢圓的標準方程為
(Ⅱ)設(shè)，其中
。由已知
及點
在橢圓上可得
。
整理得
，其中。
(i)
時�；喌�
所以點
的軌跡方程為
，軌跡是兩條平行于
軸的線段。
(ii)時，方程變形為
，其中
當(dāng)
時，點的軌跡為中心在原點、實軸在
軸上的雙曲線滿足
的部分。
當(dāng)
時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；
當(dāng)時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓；
24.(2009遼寧卷理)(本小題滿分12分)
已知，橢圓C過點A，兩個焦點為(－1，0)，(1，0)。
(3) 求橢圓C的方程；
(4) E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。
(20)解：
(Ⅰ)由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為
，解得
，
(舍去)
所以橢圓方程為
�！ �
……………4分
(Ⅱ)設(shè)直線AE方程為：，代入得
設(shè)
,
,因為點
在橢圓上，所以
………8分
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-K代K，可得
所以直線EF的斜率
即直線EF的斜率為定值，其值為
�！ �
……12分
23.(2009遼寧卷文)(本小題滿分12分)
已知，橢圓C以過點A(1，)，兩個焦點為(－1，0)(1，0)。
(1) 求橢圓C的方程；
(2) E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。
(22)解：(Ⅰ)由題意，c＝1,可設(shè)橢圓方程為
。
因為A在橢圓上，所以
，解得
＝3，＝
(舍去)。
所以橢圓方程為 ． �。�4分
(Ⅱ)設(shè)直線AE方程：得，代入得
設(shè)E(
，)，F(xiàn)(，
)．因為點A(1，)在橢圓上，所以
，
。 �。�8分
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以
代
，可得
，
。
所以直線EF的斜率
。
即直線EF的斜率為定值，其值為�！ �
．．．．．．．12分
19.[解析]
解法一：
(Ⅰ)當(dāng)曲線C為半圓時，
如圖，由點T為圓弧
的三等分點得∠BOT=60°或120°.
(1)當(dāng)∠BOT=60°時, ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有
(2)當(dāng)∠BOT=120°時,同理可求得點S的坐標為
,綜上,
(Ⅱ)假設(shè)存在
,使得O,M,S三點共線.
由于點M在以SB為直線的圓上,故
.
顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為
.
由
設(shè)點
故
,從而
.
亦即
由
得
由
,可得
即
經(jīng)檢驗,當(dāng)時,O,M,S三點共線. 故存在,使得O,M,S三點共線.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點共線.
由于點M在以SO為直徑的圓上,故
.
顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線AS的方程為
由
設(shè)點,則有
故
由
所直線SM的方程為
O,S,M三點共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即
.
故存在,使得O,M,S三點共線.
22.(2009福建卷理)(本小題滿分13分)
已知A,B 分別為曲線C： 
+=1(y
0,a>0)與x軸
的左、右兩個交點，直線
過點B,且與軸垂直，S為上
異于點B的一點，連結(jié)AS交曲線C于點T.
(1)若曲線C為半圓，點T為圓弧
的三等分點，試求出點S的坐標；
(II)如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由�！�
21.(2009湖南卷文)(本小題滿分13分)
已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點
為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形(記為Q).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是橢圓C的左準線與軸的交點，過點P的直線與橢圓C相交于M,N兩點，當(dāng)線段MN的中點落在正方形Q內(nèi)(包括邊界)時，求直線的斜率的取值范圍。
解: (Ⅰ)依題意，設(shè)橢圓C的方程為
焦距為
，
由題設(shè)條件知，
所以
故橢圓C的方程為 .
(Ⅱ)橢圓C的左準線方程為
所以點P的坐標
，
顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為
。
如圖，設(shè)點M，N的坐標分別為
線段MN的中點為G
，
由
得
.
……①
由
解得
. ……②
因為
是方程①的兩根，所以
，于是
=
，
.
因為
，所以點G不可能在軸的右邊，
又直線
,
方程分別為
所以點
在正方形
內(nèi)(包括邊界)的充要條件為
即
亦即
解得
，此時②也成立. 21世紀教育網(wǎng)
故直線斜率的取值范圍是
20.(2009全國卷Ⅱ理)(本小題滿分12分)
已知橢圓
的離心率為
，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當(dāng)的斜率為1時，坐標原點到的距離為
(I)求，的值；
(II)上是否存在點P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有
成立？
若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。
解:(I)設(shè)，直線
，由坐標原點到的距離為
則
，解得 
.又
.
(II)由(I)知橢圓的方程為
.設(shè)
、
由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè) 
代入橢圓的方程中整理得
，顯然
。
由韋達定理有：
．．．．．．．．①
.假設(shè)存在點P，使成立，則其充要條件為：
點
，點P在橢圓上，即。
整理得
。
又
在橢圓上，即
.
故
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
將
及①代入②解得
,
=,即
.
當(dāng)
;
當(dāng)
.
評析：處理解析幾何題，學(xué)生主要是在“算”上的功夫不夠。所謂“算”，主要講的是算理和算法。算法是解決問題采用的計算的方法,而算理是采用這種算法的依據(jù)和原因,一個是表,一個是里,一個是現(xiàn)象,一個是本質(zhì)。有時候算理和算法并不是截然區(qū)分的。例如：三角形的面積是用底乘高的一半還是用兩邊與夾角的正弦的一半，還是分割成幾部分來算？在具體處理的時候，要根據(jù)具體問題及題意邊做邊調(diào)整，尋找合適的突破口和切入點。
19.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率
，右準線方程為
。
(I)求橢圓的標準方程；
(II)過點
的直線與該橢圓交于
兩點，且，求直線的方程。
[解析](I)由已知得
，解得
∴ 
∴ 所求橢圓的方程為
…………………………………4分
(II)由(I)得、
①若直線的斜率不存在，則直線的方程為
，由
得
設(shè)
、
，
∴ 
，這與已知相矛盾。
②若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為
，
設(shè)
、，
聯(lián)立
，消元得
∴ 
，
∴ 
， 21世紀教育網(wǎng)
又∵
∴ 
∴ 
化簡得
解得
∴
∴ 所求直線的方程為 …………………………………12分
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