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10．(2005上海) 如圖，點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，．

(1)求點P的坐標；

(2)設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值．

解：(1)由已知可得點A(－6，0)，F(4，0)

設點P的坐標是，由已知得

則2x²+9x-18=0,

,　 ∴P點的坐標是

(2)直線AP的方程是

設點M的坐標是(m，0)，則M到直線AP的距離是，

于是

橢圓上的點到點M的距離d有

由于

[探索題](2006湖北)設A、B分別為橢圓()的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設P為右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內。

解(Ⅰ)依題意得　 解得　　 從而

故橢圓方程為

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得設

M點在橢圓上，①　　　　 又M點異于頂點A、B，

由P、A、M三點共線可得　　 從而

∴　　　　　　　　　 ②

將①式代入②式化簡得

于是為銳角，從而為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內。

解法二：由(Ⅰ)得．設,

則直線AP的方程為,直線BP的方程為．

點M、N分別在直線AP、BP上，

．從而③

聯立消去得=0

　是方程的兩根,,即④

又⑤

于是由③、④式代入⑤式化簡可得

N點在橢圓上，且異于頂點A、B，又，

從而

故為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內。

解法3：由(Ⅰ)得，設

則．又MN的中點Q的坐標為，

化簡得　　　　　　　　　 ⑥

直線AP的方程為，直線BP的方程為

點P在準線上，

，即⑦

又M點在橢圓上,,即　　　　　　　　　　　　 ⑧

于是將⑦、⑧式代入⑥式化簡可得

從而B在以MN為直徑的圓內。

9． 如下圖，已知△OFQ的面積為S，且·=1．

(1)若＜S＜2，求向量與的夾角θ的取值范圍；

(2)設||=c(c≥2)，S=c，若以O為中心，F為一個焦點的橢圓經過點Q，當||取最小值時，求橢圓的方程．

解：(1)由已知，得

||||sin(π－θ)=S，

||||cosθ=1．

∴tanθ=2S．

∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4．

則＜θ＜arctan4．

(2)以O為原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．

設橢圓方程為+=1(a＞b＞0)，Q(x，y)．

=(c，0)，則=(x－c，y)．

∵||·y=c，∴y=．

又∵·=c(x－c)=1，∴x=c+．

則||==(c≥2)．

可以證明：當c≥2時，函數t=c+為增函數，

∴當c=2時，

||_min==，

此時Q(，)．將Q的坐標代入橢圓方程，

a²－b²=4．　　　　　　 b²=6．

∴橢圓方程為+=1．

8． 如下圖，設E：+=1(a＞b＞0)的焦點為F₁與F₂，且P∈E，∠F₁PF₂=2θ．

求證：△PF₁F₂的面積S=b²tanθ．

剖析：有些圓錐曲線問題用定義去解決比較方便．如本題，設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，則S=r₁r₂sin2θ．若能消去r₁r₂，問題即獲解決．

證明：設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，

則S=r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，

由余弦定理有

(2c)²=r₁²+r₂²－2r₁r₂cos2θ=(r₁+r₂)²－2r₁r₂－2r₁r₂cos2θ=(2a)²－2r₁r₂(1+cos2θ)，

于是2r₁r₂(1+cos2θ)=4a²－4c²=4b²．

所以r₁r₂=．

這樣即有S=·sin2θ=b²=b²tanθ．

評述：解與△PF₁F₂(P為橢圓上的點)有關的問題，常用正弦定理或余弦定理，并結合|PF₁|+|PF₂|=2a來解決．