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3．要正確理解和靈活運(yùn)用參數(shù)a,b,c,,e的幾何意義與相互關(guān)系；

2．求橢圓方程，常用待定系數(shù)法,定義法,首先確定曲線類型和方程的形式，再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)“特別”掌握；

(1)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏；

(2)兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，c²=a²-b²并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上；

1．橢圓定義是解決問題的出發(fā)點(diǎn),一般地，涉及a、b、c的問題先考慮第一定義，涉及e、d及焦半徑的問題行急需處理 慮第二定義；

[例1]若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM(O為原點(diǎn))的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

分析：欲求橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關(guān)于a、b的兩個方程，由OM的斜率為．OA⊥OB，易得a、b的兩個方程．

解法1：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)．

ax²+by²=1，

∴x₀==，y₀==1－=．

∴M(，)．

∵k_OM=，∴b=a．　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

∵OA⊥OB，∴·=－1．

∴x₁x₂+y₁y₂=0．

∵x₁x₂=，y₁y₂=(1－x₁)(1－x₂)，

∴y₁y₂=1－(x₁+x₂)+x₁x₂

=1－+=．

∴+=0．

∴a+b=2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由①②得a=2(－1)，b=2(－1)．

∴所求方程為2(－1)x²+2(－1)y²=1．

法2：(點(diǎn)差法)由ax₁+by₁=1,　 ax₂+by₂=1相減得

,即…下同法1．

提煉方法：1．設(shè)而不求，即設(shè)出A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，借助韋達(dá)定理推出b=a．．再由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0,轉(zhuǎn)換出a,b的又一關(guān)系式,

2．點(diǎn)差法得b=a．…

[例2](2005湖南) 已知橢圓C：+＝1(a＞b＞0)的左．右焦點(diǎn)為F₁、F₂，離心率為e． 直線,l：y＝ex+a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F₁關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè)＝λ．

(Ⅰ)證明：λ＝1－e²；

(Ⅱ)若，△MF₁F₂的周長為6；寫出橢圓C的方程；(理科無此問)

(Ⅲ)確定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

(Ⅰ)證法一：因?yàn)?i>A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是．

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是()．　　 由

即．

證法二：因?yàn)?i>A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是

所以　　　 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以　

即

　 解得

　 (Ⅱ)當(dāng)時，，所以　 由△MF₁F_­2­­的周長為6，得

　　 所以　 橢圓方程為

(Ⅲ)解法一：因?yàn)?i>PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

　 　設(shè)點(diǎn)F₁到l的距離為d，由

　　 得　 所以

　　 即當(dāng)△PF₁F_­2­­為等腰三角形．

解法二：因?yàn)?i>PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，

則

由|PF₁|=|F₁F₂|得

兩邊同時除以4a²，化簡得　 從而

于是．　　 即當(dāng)時，△PF₁F₂為等腰三角形．

[例3](2005春上海)(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知橢圓的方程是． 設(shè)斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為． 證明：當(dāng)直線平行移動時，動點(diǎn)在一條過原點(diǎn)的定直線上；

(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心．

解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，

　　 ∴ ，即橢圓的方程為，

　　 ∵ 點(diǎn)()在橢圓上，∴ ，

　　 解得 或(舍)，

　　 由此得，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

　 (2)設(shè)直線的方程為，

　　 與橢圓的交點(diǎn)()、()，

則有，

　　 解得 ，

　　 ∵ ，∴ ，即 ．

則 ，

　　 ∴ 中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

　　 ∴ 線段的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線 上．

(3)如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于、和，并分別取、的中點(diǎn)，連接直線；又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于、和，并分別取、的中點(diǎn)，連接直線，那么直線和的交點(diǎn)即為橢圓中心．

[例4] (2006江西)如圖,橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的一動直線繞點(diǎn) 轉(zhuǎn)動,并且交橢圓于、兩點(diǎn), 為線段的中點(diǎn)．

(1)　　　　　 求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)　　　 若在的方程中,令確定的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn)．此時設(shè)與軸交點(diǎn)為,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到什么位置時,三角形的面積最大?

解：如圖

(1)設(shè)橢圓上的點(diǎn)、,又設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則

　當(dāng)不垂直軸時，

　由①-②得

　當(dāng) 垂直于軸時，點(diǎn)即為點(diǎn)，滿足方程(*)．

　故所求點(diǎn)的軌跡的方程為： ．

(2)因?yàn)?橢圓右準(zhǔn)線方程是,原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線的距離為,

　時,上式達(dá)到最大值,所以當(dāng)時,原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn)．

　 此時．

　 設(shè)橢圓 上的點(diǎn)、,

　 △的面積

　 設(shè)直線的方程為,代入中,得

由韋達(dá)定理得

令,得,當(dāng)取等號．

因此,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到垂直軸位置時, 三角形的面積最大．

特別提醒:注意這種直線方程的設(shè)法,適用于 “含斜率不存在,而無斜率為零的情況”.

[研討．欣賞](1)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-1,-3)，F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)Q在橢圓上移動，當(dāng)取最小值時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并求出其最小值。

(2)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，已知點(diǎn)P到這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離是的點(diǎn)的坐標(biāo)。 　

解(1)由橢圓方程可知a=4,b=,則c=2,,

橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=8　 過點(diǎn)Q作QQ^’于點(diǎn)Q^’,

過點(diǎn)P作PP^’于點(diǎn)P^’,則據(jù)橢圓的第二定義知,

,

易知當(dāng)P、Q、Q^’在同一條線上時，即當(dāng)Q^’與P^’點(diǎn)重合時，才能取得最小值，最小值為8-(-1)=9，此時點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-3，代入橢圓方程得。

　因此,當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到(2,-3)處時, 取最小值9．

(2)設(shè)所求的橢圓的直角坐標(biāo)方程是．

由,解得,設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d．

則

其中,如果,　 則當(dāng)y=-b時,d²取得最大值

解得b=與矛盾,　　　 故必有　　 當(dāng)時d²取得最大值，　 　　　解得b=1,a=2　 所求橢圓方程為．

由可得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)為,．

6．根據(jù)橢圓的對稱性知，，同理其余兩對的和也是，

又，∴ =35

5． +=1或+=1；

4．易知圓F₂的半徑為c，(2a－c)²+c²=4c²，()²+2()－2=0，=－1．

6．(2006四川15)如圖把橢圓的長軸AB分成8份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于,,……七個點(diǎn)，F是橢圓的一個焦點(diǎn)，則____________．

簡答提示：1-4．CBBA；

5．橢圓對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成一個正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，則這個橢圓方程為__________________．

4．設(shè)F₁、F₂為橢圓的兩個焦點(diǎn)，以F₂為圓心作圓F₂，已知圓F₂經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于M點(diǎn)，若直線MF₁恰與圓F₂相切，則該橢圓的離心率e為　 (　 )

A． －1　　　　 B．2－　　　　　 C．　　　　　　　 D．