5.
(04全國卷Ⅳ25)如圖所示,在一光滑的水平面上有兩塊相同的木板B和C.重物A(視為質(zhì)點)位于B的右端,A、B、C的質(zhì)量相等.現(xiàn)A和B以同一速度滑向靜止的C,B與C發(fā)生正碰.碰后B和C粘在一起運動，A在C上滑行,A與C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.試問：
B、C發(fā)生正碰到A剛移動到C右端期間,C所走過的距離是C板長
度的多少倍？
答案 
倍
解析 設(shè)A、B、C的質(zhì)量均為m.碰撞前,A與B的共同速度為v0,碰撞后B與C的共同速度為v1。對B、C,由動量守恒定律得 mv0=2mv1 ①
設(shè)A滑至C的右端時,三者的共同速度為v2.對A、B、C,由動量守恒定律得
2mv0=3mv1 ②
設(shè)A與C的動摩擦因數(shù)為μ,從發(fā)生碰撞到A移至C的右端時C所走過的距離為S.對B、C由功能關(guān)系
μ(2m)gs=
(2m)v22-(2m)v12 ③
Μmg(s+l)= mv02-mv22 ④
由以上各式解得
=
4.
(04上海21)滑雪者從A點由靜止沿斜面滑下,經(jīng)一平臺后水平飛離B點,
地面上緊靠平臺有一個水平臺階,空間幾何尺度如圖所示.斜面、平臺與滑雪
板之間的動摩擦因數(shù)均為μ.假設(shè)滑雪者由斜面底端進入平臺后立即沿水平方
向運動,且速度大小不變.求:
(1)滑雪者離開B點時的速度大��；
(2)滑雪者從B點開始做平拋運動的水平距離s.
答案 (1)
(2)當H-μL<2h時,s=
當H-μL>2h時,s=2
解析 (1)設(shè)滑雪者質(zhì)量為m,斜面與水平面間的夾角為θ,滑雪者滑行過程中克服摩擦力做功W=μmgs?cosθ+μmg(L-scosθ)=μmgL
由動能定理mg(H-h)-μmgL=mv2
離開B點時的速度v=
(2)設(shè)滑雪者離開B點后落在臺階上
=gt12,s1=vt1<
h
可解得s1=<h
此時必須滿足H-μL<2h.
當H-μL>2h時,滑雪者直接落到地面上.h=gt22,s=vt2
可解得s=2
3.(04廣東14)一質(zhì)量為m的小球,以初速度v0沿水平方向射出,恰好垂直地射到一傾角為30°的固定斜面上,并立即沿反方向彈回.已知反彈速度的大小是入射速度大小的
,求在碰撞過程中斜面對小球的沖量大小.
答案 
解析 令小球與斜面相碰時速度大小為v,由題意可知,碰后的速度大小為v,因小球與斜面垂直相碰撞,后被反彈回,則碰撞中斜面對小球的沖量大小為I,(設(shè)定反彈回的速度方向為正)由動量定理得:
I=Δp=m×v-(-mv)=
又因小球水平的初速度為v0,由右圖可得:v=
=2v0
所以碰撞中斜面對小球的沖量大小為:I=
=
2.(05北京春招24)下雪天,卡車在筆直的高速公路上勻速行駛.司機突然發(fā)現(xiàn)前方停著一輛故障車,他將剎車踩到底,車輪被抱死,但卡車仍向前滑行,并撞上故障車,且推著它共同滑行了一段距離l后停下.事故發(fā)生后,經(jīng)測量,卡車剎車時與故障車距離為L,撞車后共同滑行的距離l=
L.假定兩車輪胎與雪地之間的動摩擦因數(shù)相同.已知卡車質(zhì)量M為故障車質(zhì)量m的4倍.
(1)設(shè)卡車與故障車相撞前的速度為v1,兩車相撞后的速度變?yōu)関2,求
；
(2)卡車司機至少在距故障車多遠處采取同樣的緊急剎車措施,事故才能免于發(fā)生.
答案 (1)
(2) 
L
解析 (1)由碰撞過程動量守恒知
Mv1=(M+m)v2 TH①
則
(2)設(shè)卡車剎車前速度為v0,輪胎與雪地之間的動摩擦因數(shù)為μ,兩車相撞前卡車動能變化
Mv02-Mv12=μMgL ②
碰撞后兩車共同向前滑動到最后靜止,動能變化
(M+m)v22-0=μ(M+m)gl ③
由②式得v02-v12=2μgL
由③式得v22=2μgl
又因l=L,得v02=3μgL
如果卡車滑到故障車前剛好停止,由
Mv02-0=μMgL′ ④
故L′=L
這意味著卡車司機在距故障車至少L處緊急剎車,事故就能夠免于發(fā)生.
1.
(05廣東18) 如圖所示，兩個完全相同的質(zhì)量為m的木板A、B置
于水平地面上，它們的間距s=2.88 m.質(zhì)量為2m、大小可忽略的物
塊C置于A板的左端.C與A之間的動摩擦因數(shù)為μ1=0.22，A、B與水平地面之間的動摩擦因數(shù)為μ2=0.10，最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力.開始時，三個物體處于靜止狀態(tài).現(xiàn)給C施加一個水平向右，大小為
mg的恒力F，假定木板A、B碰撞時間極短且碰撞后粘連在一起.要使C最終不脫離木板，每塊木板的長度至少應為多少？
答案 0.3 m?
解析 設(shè)A、C之間的滑動摩擦力大小為f1，A與水平地面之間的滑動摩擦力大小為f2
∵μ1=0.22,μ2=0.10
∴F=mg＜f1=2μ1mg
且F=mg＞f2=μ2(2m+m)g
∴一開始A和C保持相對靜止，在F的作用下向右加速運動，有
(F-f2)·s=(2m+m)v12
A、B兩木板的碰撞瞬間，內(nèi)力的沖量遠大于外力的沖量，A、B組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律得：
mv1=(m+m)v2
碰撞結(jié)束后三個物體達到共同速度的相互作用過程中，設(shè)木板向前移動的位移為x1，選三個物體構(gòu)成的整體為研究對象，外力之和為零，則
2mv1+(m+m)v2=(2m+m+m)v3
設(shè)A、B系統(tǒng)與水平地面之間的滑動摩擦力大小為f3，對A、B系統(tǒng)，由動能定理
f1·s1-f3·s1=·2mv32-·2mv22
f3=μ2(2m+m+m)g
對C物體，由動能定理
F·(2l+x1)-f1·(2l+x1)= ·2mv32-·2mv12
由以上各式、再代入數(shù)據(jù)可得l=0.3 m
12.(2005江蘇18)如圖所示,三個質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上,現(xiàn)給中間的小球B一個水平初速度v0,方向與繩垂直,小球相互碰撞時無機械能損失,輕繩不可伸長.求：
(1)當小球A、C第一次相碰時,小球B的速度；
(2)當三個小球再次處在同一直線上時,小球B的速度；
(3)運動過程中小球A的最大動能EkA和此時兩根繩的夾角θ；
(4)當三個小球處在同一直線上時,繩中的拉力F的大小.
答案 (1)
v0 (2)-v0 (3)90° (4)m
解析 (1)設(shè)小球A、C第一次相碰時,小球B的速度為vB,考慮到對稱性及繩的不可伸長特性,小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為vB.由動量守恒定律,得mv0=3mvB
由此解得vB=v0
(2)當三個小球再次處在同一直線上時,則由動量守恒定律和機械能守恒定律,得
mv0=mvB+2mvA
mv02=mvB2+2×mvA2
解得vB=-v0,vA=
v0(三球再次處于同一直線)
vB=v0,vA=0(初始狀態(tài),舍去)
所以三個小球再次處在同一直線上時,小球B的速度為
vB=-v0(負號表明與初速度方向相反)
(3)當小球A的動能最大時,小球B的速度為零.設(shè)此時小球A、C的速度大小為u,兩根繩間夾角為θ,則仍由動量守恒定律和機械能守恒定律,得：
mv0=2musin
mv02=2×mu2
另外,EkA=mu2
由此解得,小球A的最大動能為：
EkA=
mv02
此時兩根繩間夾角為θ=90°
(4)小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運動,當三個小球處在同一直線上時,以小球B為參考系(小球B的加速度為零,為慣性參考系),小球A、C相對小球B的速度均為：
v=|vA-vB|=v0
所以,此時繩中拉力大小為：F=m
=m
題組三
11.(05全國理綜Ⅱ25)如圖所示,一對雜技演員(都視為質(zhì)點)乘秋千(秋千繩處于水
平位置)從A點由靜止出發(fā)繞O點下擺,當擺到最低點B時,女演員在極短時間內(nèi)將
男演員沿水平方向推出,然后自己剛好能回到高處A.求男演員落地點C與O點的水
平距離s.已知男演員質(zhì)量m1和女演員質(zhì)量m2之比
=2,秋千的質(zhì)量不計,秋千的擺長為R,C點比O點低5R. 答案 8 R
解析 設(shè)分離前男女演員在秋千最低點B的速度為v0,由機械能守恒定律得
(m1+m2)gR=(m1+m2)v02 ①
設(shè)剛分離時男演員速度大小為v1,方向與v0相同;女演員速度大小為v2,方向與v0相反,由動量守恒得(m1+m2)v0=m1v1-m2v2 ②
分離后,男演員做平拋運動,設(shè)男演員從被推出到落在C點所需的時間為t,根據(jù)題給條件,由運動學規(guī)律
4R=gt2 ③
s=v1t ④
分離后,女演員恰回到A點,由機械能守恒定律
m2gR=m2v22 ⑤
已知m1=2m2 ⑥
由以上各式得：s=8 R ⑦
10.(05天津理綜24)如圖所示，質(zhì)量mA為4.0 kg的木板A放在水平面C上，
木板與水平面間的動摩擦因數(shù)μ為0.24，木板右端放著質(zhì)量mB為1.0 kg的
小物塊B(視為質(zhì)點)，它們均處于靜止狀態(tài).木板突然受到水平向右的12 N·s的瞬時沖量I作用開始運動，當小物塊滑離木板時，木板的動能EKA為8.0 J，小物塊的動能EKB為0.50 J，重力加速度取10 m/s2，求：
(1)瞬時沖量作用結(jié)束時木板的速度v0；
(2)木板的長度L.
答案 (1)3.0 m/s (2)0.50 m?
解析(1)設(shè)水平向右為正方向，有
I=mAv0 ①
代入數(shù)據(jù)解得
v0=3.0 m/s ②
(2)設(shè)A對B、B對A、C對A的滑動摩擦力的大小分別為FAB、FBA和FCA，B在A上滑行的時間為t，B離開A時A和B的速度分別為vA和vB，有
-(FBA+FCA)t=mAvA-mAv0 ③
FABt=mBvB ④
其中FAB=FBA
FCA=μ(mA+mb)g ⑤
設(shè)A、B相對于C的位移大小分別為SA和SB,
有-(FBA+FCA)SA=mAvA2-mAv02 ⑥
FABSB=EKB ⑦
動量與動能之間的關(guān)系為
mAvA=
⑧
mBvB= ⑨
木板A的長度
L=sA-sB ⑩
代入數(shù)據(jù)解得
L=0.50 m
9.(2006重慶理綜25)如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi).小球
A、B質(zhì)量分別為m、βm(β為待定系數(shù)).A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌
道下滑,與靜止于軌道最低點的B球相撞,碰撞后A、B球能達到的最大高度均為R,
碰撞中無機械能損失.重力加速度為g.試求:
(1)待定系數(shù)β;
(2)第一次碰撞剛結(jié)束時小球A、B各自的速度和B球?qū)壍赖膲毫?
(3)小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時各自的速度,并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時各自的速度.
答案 (1)β=3 (2)A:v1=-
,方向向左;B:v2=,方向向右；4.5 mg,方向豎直向下
(3)A:V1=-
,
B:V2=0.當n為奇數(shù)時,小球A、B第n次碰撞結(jié)束時的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時相同.
當n為偶數(shù)時,小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時相同.
解析 (1)由mgR=
+
得β=3
(2)設(shè)A、B碰撞后的速度分別為v1、v2,則
mv12=
βmv22=
設(shè)向右為正、向左為負,得
v1=-,方向向左
v2=,方向向右
設(shè)軌道對B球的支持力為N,B球?qū)壍赖膲毫镹′,方向豎直向上為正、向下為負，
則N-βmg=βm
N′=-N=-4.5 mg,方向豎直向下
(3)設(shè)A、B球第二次碰撞剛結(jié)束時的速度分別為V1、V2,則
解得V1=- ,V2=0
(另一組解:V1=-v1,V2=-v2不合題意,舍去)
由此可得:
當n為奇數(shù)時,小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時相同;當n為偶數(shù)時,小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時相同.
8.
(2006江蘇17)如圖所示，質(zhì)量均為m的A、B兩個彈性小球，用長為2l的不可
伸長的輕繩連接.現(xiàn)把A、B 兩球置于距地面高H處(H足夠大)，間距為l，當A球
自由下落的同時，將B球以速度v0指向A球水平拋出，求：
(1)兩球從開始運動到相碰，A球下落的高度；
(2)A、B兩球碰撞(碰撞時無機械能損失)后，各自速度的水平分量；
(3)輕繩拉直過程中，B球受到繩子拉力的沖量大小.
答案 (1) 
(2)v0 0 (3) 
解析 (1)設(shè)A球下落的高度為h
l=v0t ①
h=gt2 ②
聯(lián)立①②得h= ③
(2)由水平方向動量守恒得
mv0=mvAx′+mvBx′ ④
由機械能守恒得
m(v02+vBy2)+
mvAy2=m(vAx′2+vAy′2)+ m(vBx′2+vBy′2) ⑤
式中vAy′=vAyvBy′=vBy
聯(lián)立④⑤得vAx′=v0,vBx′=0
(3)由水平方向動量守恒得
mv0=2mvBx″
則I=mv0-mvBx″=
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