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14、(湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題)二次函數(shù)

解：(1)設(shè)n＝2k(k∈N^*)
∵a_2n＋2＝(1＋2|coskπ|)a_2k＋|sinkπ|＝3a_2k，
又a₂＝3，
∴當(dāng)k∈N^*時(shí)，數(shù)列{a_2k}為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；   ……3'
(2)設(shè)n＝2k－1(k∈N^*)
由a_2k＋1＝(1＋2|cos(k－)π|)a_2k－1＋|sin(k－)π|＝a_2k－1＋1
∴當(dāng)k∈N^*時(shí)，{a_2k－1}是等差數(shù)列
∴a_2k－1＝a₁＋(k－1)?1＝k ……5'
又由(1)當(dāng)k∈N^*時(shí)，數(shù)列{a_2k}為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列
∴a_2k＝a₂?3^k－1＝3^k   ……6'
綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝   ……7'
(3)b_k＝a_2k＋(－1)^k－1λ?2＝3^k＋(－1)^k－1λ?2^k，
∴b_k＋1－b_k＝3^k＋1＋(－1)^kλ?2^k＋1－3^k－(－1)^k－1λ?2^k
         ＝2?3^k＋(－1)^kλ?3?2^k
由題意，對任意k∈N^*都有b_k＋1＞b_k成立
∴b_k＋1－b_k＝2?3^k＋(－1)^kλ?3?2^k＞0恒成立
Þ  2?3^k＞(－1)^k－1λ?3?2^k對任意k∈N^*恒成立 ……9'
①當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，2?3^k＞λ?3?2^k  Þ  λ＜對任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k為奇數(shù)，∴≥＝1
∴λ＜1  ……10'
②當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，2?3^k＞－λ?3?2^k  Þ  λ＞－對任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k為偶數(shù)，∴－≤－，∴λ＞－   ……11'
綜上：有－＜λ＜1   ……12'
∵λ為非零整數(shù)，∴λ＝－1.

(3)設(shè)b_k＝a_2k＋(－1)^k－1λ?2(λ為非零整數(shù))，試確定λ的值，使得對任意k∈N^*都有b_k＋1＞b_k成立.

13、(四川省成都市高2009屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測)已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＝1，a₂＝3，且a_n＋2＝(1＋2|cos|)a_n＋|sin|，n∈N^*.

(1)證明：數(shù)列{a_2n}(k∈N^*}為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

答案：（1）  （2）（3）略

   （3）證明：

   （2）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；

   （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

12、(哈爾濱市第九中學(xué)2008―2009學(xué)年度高三第三次月考)已知數(shù)列滿足

答案：（1）；（2）；（3）