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    （1）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，又E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF∥BD. 連結(jié)AC，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則AH⊥EF. 連結(jié)C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影.

    ∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁―EF―A的平面角.

    A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F(xiàn)（x，1，0）

    故二面角C₁―EF―A的大小為.

    解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

    （1）設(shè)DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），

    ∴∠C₁HC=arctan，從而∠AHC₁=.

    ∴tan∠C₁HC=.

    在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，

    ∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

    ∵ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn).

    ∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AF，

    即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D₁E⊥平面AB₁F.…………6分

    （II）當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時(shí)，由（I）知點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).

    又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，則EF∥BD. 連結(jié)AC，

    設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H，則CH⊥EF，連結(jié)C₁H，則CH是

    C₁H在底面ABCD內(nèi)的射影.

    C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁―EF―C的平面角.