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（一）必做題：第9、10、11、12題為必做題，每道試題考生都必須做答

9.已知，則當(dāng)取最大值時(shí)，=_____________.

10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，=______.

11．為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)

抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)

量的分組區(qū)間為，

,由此得到頻率分布直方圖如

圖,則由此估計(jì)該廠工人一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在

的人數(shù)約占該廠工人總數(shù)的百分率是　　　.

12.已知是拋物線和直線圍成的封閉區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的點(diǎn)，則的最小值為 ___________.

（二）選做題：第13、14、15題為選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計(jì)算前兩題的得分．

13.設(shè)為正數(shù),且 則的最大值是___________.

14.已知過(guò)曲線上一點(diǎn)P，原點(diǎn)為O，直線PO的傾斜角為，則點(diǎn)坐標(biāo)是___________.

15.如圖,是兩圓的交點(diǎn),是小圓的直徑,和

分別是和的延長(zhǎng)線與大圓的交點(diǎn),

已知,且,

則=___________.

16．（本小題滿分12分）

在△中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊,且．

(Ⅰ) 求；   

 (Ⅱ) 求的長(zhǎng).

17．（本小題滿分12分）

某商場(chǎng)為刺激消費(fèi)，擬按以下方案進(jìn)行促銷(xiāo)：顧客每消費(fèi)500元便得到抽獎(jiǎng)券一張，每張抽獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為，若中獎(jiǎng)，商場(chǎng)返回顧客現(xiàn)金100元．某顧客現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)價(jià)格為2300的臺(tái)式電腦一臺(tái)，得到獎(jiǎng)券4張.

(Ⅰ)設(shè)該顧客抽獎(jiǎng)后中獎(jiǎng)的抽獎(jiǎng)券張數(shù)為，求的分布列；

(Ⅱ)設(shè)該顧客購(gòu)買(mǎi)臺(tái)式電腦的實(shí)際支出為（元），用表示，并求的數(shù)學(xué)期望.

18．（本小題滿分14分）

如圖一，平面四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，．

把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對(duì)于圖二，完成以下各小題：

（Ⅰ）求兩點(diǎn)間的距離；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

19．（本題滿分14分）

已知是以點(diǎn)為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn).點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足．動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

    （Ⅰ）求曲線的方程；

(Ⅱ)線段是曲線的長(zhǎng)為的動(dòng)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍.

20．（本題滿分14分）

已知數(shù)列滿足：，且（）．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）求下表中前行所有數(shù)的和．　

21．（本題滿分14分）

已知函數(shù)(常數(shù).

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

2009年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)(理科)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說(shuō)明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

A

B

D

C

A

D

  9．．              10．．             11． 52.5％．          12． .

 13．．          14． ．             15．．

16．（本小題滿分12分）

在△中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊,且．

(Ⅰ) 求；   

 (Ⅱ) 求的長(zhǎng).

解：(Ⅰ)在中，

.

.       …………………………2分

從而                     …………………………6分

∴……9分

(Ⅱ)由正弦定理可得

，

                                    …………………………12分

17．（本小題滿分12分）

某商場(chǎng)為刺激消費(fèi)，擬按以下方案進(jìn)行促銷(xiāo)：顧客每消費(fèi)500元便得到抽獎(jiǎng)券一張，每張抽獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為，若中獎(jiǎng)，商場(chǎng)返回顧客現(xiàn)金100元．某顧客現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)價(jià)格為2300的臺(tái)式電腦一臺(tái)，得到獎(jiǎng)券4張.

(Ⅰ)設(shè)該顧客抽獎(jiǎng)后中獎(jiǎng)的抽獎(jiǎng)券張數(shù)為，求的分布列；

(Ⅱ)設(shè)該顧客購(gòu)買(mǎi)臺(tái)式電腦的實(shí)際支出為（元），用表示，并求的數(shù)學(xué)期望.

解：(Ⅰ)的所有可能值為0，1，2，3，4.…………………………1分

，

，

，

.                  　　　　　   　  ……………………4分

其分布列為：

0

1

2

3

4

…………………………6分

 (Ⅱ)，

 .                            　　　　   …………………………8分

由題意可知

，                       　　　　　   …………………………10分

元.   　　　　  …………………………12分

18．如圖一，平面四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，．把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對(duì)于圖二，完成以下各小題：

（Ⅰ）求兩點(diǎn)間的距離；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

　　　　　�。▓D一）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（圖二）

解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，

由，得：

就是二面角的平面角，

                               …………………………2分

在中，

                                           …………………………4 分                                                                                                                                                                     

（Ⅱ）由，

                            …………………………6分

，                          

又

平面．                              　 …………………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面

平面

∴平面平面     　　　　　　　　　　　　　…………………………10分

平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角，         　　　　…………………………12分

．                       …………………………14分

方法二：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

∵                                　　　　　　　…………………10分

                                    　　　　　　……………………12分

于是與平面所成角的正弦為

．                             　　　　　………………………14分

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

．  ………10分

設(shè)平面的法向量為n，則

n， n，

取，則n，       ----------12分

于是與平面所成角的正弦即

．   ……………14分

19．(本題滿分14分)

已知是以點(diǎn)為圓心的圓上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn).點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足．動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

    （Ⅰ）求曲線的方程；

(Ⅱ)線段是曲線的長(zhǎng)為的動(dòng)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍.

解：（Ⅰ）

∴為的垂直平分線，∴,

又    ………………………………3分

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的長(zhǎng)軸為的橢圓.

∴軌跡E的方程為………………………………………………………5分

(Ⅱ) 解法一∵線段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設(shè)，，則

，  …………………………………………8分

，

，               ………………………………………………………11分

.　　　　　　　　　　　　　　　………………………………………………12分

又點(diǎn)到直線的距離，

　………………………………………………13分

，

.          　　　　　　　…………………………………………14分

解法二：∵線段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設(shè)，，則

，  …………………………………………8分

，

                 ………………………………………………………11分

又點(diǎn)到直線的距離，

設(shè)，則

，

.          ……………………………………………………14分

（注：上述兩種解法用均值不等式求解可參照此標(biāo)準(zhǔn)給分）

20．(本題滿分14分)

已知數(shù)列滿足：，且（）．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）求下表中前行所有數(shù)的和．

解：（Ⅰ）由條件，，得

           ……………………………………2分

∴ 數(shù)列為等差數(shù)列．                   ……………………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得     ……………………………………4分

∴     ……………………………………7分

∴                               …………………………………… 8分

（Ⅲ）   ()  ………………………10分

∴  第行各數(shù)之和

       （）……………………12分     

∴ 表中前行所有數(shù)的和

.                          ……………………14分

21. (本題滿分14分)

已知函數(shù)(常數(shù).

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

解：(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，

.                                   …………………………1分

.             

又，                         

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

即.                                     ……………………………3分

(Ⅱ)（1）下面先證明：．

設(shè)　，則

，

且僅當(dāng)，

所以，在上是增函數(shù)，故

．

所以，，即．　　　　　　　　　……………………………5分

（2）因?yàn)?sub>，所以

 .          

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

又，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

所以，        　　　　　　…………………………9分

（3）下面討論函數(shù)的零點(diǎn)情況．

①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；　

②)當(dāng)，即時(shí)，，則

而，

∴在上有一個(gè)零點(diǎn)；  

③當(dāng)，即時(shí)， ,

由于，，

，

所以，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).　　　　……………………………………13分

綜上所述，在上，我們有結(jié)論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).            ………………………………14分

解法二：(Ⅱ)依題意，可知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，

 .           ………………………………………5分

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

         ………………………………………6分

設(shè)（，常數(shù).

∴當(dāng)時(shí)，

且僅當(dāng)時(shí)，

在上是增函數(shù).

∴當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，

取，得由此得.        ………………………………9分

取得由此得

. 　     …………………………10分

(1)當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；　  ………………………11分

(2)當(dāng)，即時(shí)，，則

而，

∴函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；                         ………………………………12分

(3)當(dāng)，即時(shí)， .

而，

∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).                    ………………………………………13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).                             ………………14分

　　　　　　　　　　　　命題人：李志敏、胡遠(yuǎn)東、張松柏　　　審題人：石永生