Question

20．如圖，寬為a的平行光束從空氣射到平行玻璃磚的上表面，入射角為45°，光束中有兩種單色光．玻璃對兩種單色光的折射率為$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$．求：
（1）兩種光通過玻璃磚的時間之比．
（2）要使光束從玻璃下表面出射時能分成不相交疊的兩束光，玻璃磚的厚度至少多大？

Answer 1

分析 （1）已知入射角和折射率，根據(jù)折射定律求折射角．根據(jù)數(shù)學(xué)知識求出光在玻璃中傳播的距離S，由v=$\frac{c}{n}$求得光在玻璃中傳播的速度v，由t=$\frac{s}{v}$求解在玻璃中傳播時間之比．
（2）玻璃對折射率大色光偏折角大，對折射率小的色光偏折角小，則當玻璃磚達到一定厚度后，兩個波長的光在玻璃磚下表面會交疊，作出剛好不交疊時的光路圖，由幾何知識求出玻璃磚的最小厚度．

解答 解：由公式n=$\frac{sini}{sinγ}$
對單色光1得：sinγ₁=$\frac{sini}{{n}_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=0.5$…①
對單色光2得：sinγ₂=$\frac{sini}{{n}_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$…②
設(shè)玻璃板的厚度為d，單色光1在玻璃中通過的路程為：
 S₁=$\frac9jxmghr{cos{γ}_{1}}=\fracpptzste{\sqrt{1-si{n}^{2}{γ}_{1}}}=\frac{2d}{\sqrt{3}}$
單色光2在玻璃中通過的路程為：
 S₂=$\fracphk4iso{cos{γ}_{2}}=\fracqddz5wx{\sqrt{1-si{n}^{2}{γ}_{2}}}=\sqrt{\frac{6}{5}}d$
傳播速度為：v₁=$\frac{c}{{n}_{1}}=\frac{c}{\sqrt{2}}$
傳播速度為：v₂=$\frac{c}{{n}_{2}}=\frac{c}{\sqrt{3}}$
兩種波長的光通過玻璃所需時間之比為：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{s}_{1}{v}_{2}}{{s}_{2}{v}_{1}}=\frac{\sqrt{60}}{9}$…③．
（2）當光束從玻璃板下表面出射時恰好能分成不交疊的兩束時，玻璃磚的厚度為d，作出光路圖如圖．
根據(jù)幾何知識得：$\sqrt{2}$a=dtanγ₁-dtanγ₂…④
由①得：γ₁=arcsin0.5，得tanγ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$…⑤
由②得：γ₂=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{6}$，得tanγ₂=$\frac{\sqrt{5}}{5}$…⑥
由④⑤⑥得，$d=\frac{\sqrt{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{10\sqrt{2}a}{5\sqrt{3}-2\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{6}-4\sqrt{10}}{11}a$
答：（1）這兩種波長的光通過玻璃所需時間之比為$\frac{\sqrt{60}}{9}$．
（2）要使光束從玻璃下表面出射時能分成不相交疊的兩束光，玻璃磚的厚度至少$\frac{10\sqrt{6}-4\sqrt{10}}{11}a$

點評 本題是幾何光學(xué)問題，運用幾何知識和折射定律結(jié)合進行求解，是幾何光學(xué)問題常用的方法和思路．