Question

15．氫原子中，已知電子質(zhì)量為m，電量為e，第一軌道半徑為r₁，求電子在不同軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度、周期、動(dòng)能、電勢(shì)能．

Answer 1

分析 根據(jù)庫侖力提供向心力，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)周期的公式，即可求解．

解答 解：庫侖力提供了電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即有：$k\frac{e^2}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
解之得電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度：$v=e\sqrt{\frac{k}{mr}}$
由于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πr}{v}$
由以上三式得電子繞核運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2π}{e}\sqrt{\frac{m{r}^{3}}{k}}$
電子的動(dòng)能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{k{e}^{2}}{2r}$
電子的電勢(shì)能：${E}_{P}=\frac{k{e}^{2}}{r}$
由于氫的核外電子的軌道關(guān)系滿足：${r}_{n}={n}^{2}{r}_{1}$
所以電子在不同軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度、周期、動(dòng)能、電勢(shì)能為：
${v}_{n}=e\sqrt{\frac{k}{m{r}_{n}}}=\frac{e}{n}•\sqrt{\frac{k}{m{r}_{1}}}$
${T}_{n}=\frac{2π}{e}•\sqrt{\frac{m{r}_{n}^{2}}{k}}=\frac{2nπ}{e}•\sqrt{\frac{nm{r}_{1}}{k}}$
${E}_{kn}=\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{n}}=\frac{k{e}^{2}}{2{n}^{2}{r}_{1}}$
${E}_{Pn}=\frac{k{e}^{2}}{{r}_{n}}=\frac{k{e}^{2}}{{n}^{2}{r}_{1}}$
答：電子在不同軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度、周期、動(dòng)能、電勢(shì)能的表達(dá)式分別為（n表示第n軌道）：
${v}_{n}=\frac{e}{n}•\sqrt{\frac{k}{m{r}_{1}}}$
${T}_{n}=\frac{2nπ}{e}•\sqrt{\frac{nm{r}_{1}}{k}}$
${E}_{kn}=\frac{k{e}^{2}}{2{n}^{2}{r}_{1}}$
${E}_{Pn}=\frac{k{e}^{2}}{{n}^{2}{r}_{1}}$

點(diǎn)評(píng) 考查庫侖定律，掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，注意原子核的電量與電子電量相等．