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設函數(shù)

(1)畫出函數(shù)的圖象;

(2)在x=0,x=3處函數(shù)f(x)是否連續(xù);

(3)求函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間.

如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=,AB=a,在△ABC內(nèi)作一系列的正方形,求所有這些正方形的面積和S.

求下列極限：

(1)

(2)

一片小樹林有4 000棵樹,每年將砍伐20%的樹木并種植1 000棵樹,設n年后所剩樹木的棵樹為a_n,

(1)計算a₁、a₂、a₃的值;

(2)請猜想數(shù)列{a_n}的通項公式,并加以證明;

(3)試判斷經(jīng)過若干年后,樹木的棵數(shù)能否大體穩(wěn)定在某一固定值上?并說明理由.

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、數(shù)學教育家.他的數(shù)學著作頗多,他編著的數(shù)學書共5種21卷,在他的著作中收錄了不少現(xiàn)已失傳的古代數(shù)學著作中的算題和算法.他的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術方面.楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關,楊輝三角中蘊涵了許多優(yōu)美的規(guī)律.古今中外,許多數(shù)學家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過,并將研究結(jié)果應用于其他工作.下圖是一個11階的楊輝三角:

 

試回答:(其中第(1)&(5)小題只需直接給出最后的結(jié)果,無需求解過程)

(1)記第i(i∈N*)行中從左到右的第j(j∈N*)個數(shù)為a_ij,則數(shù)列{a_ij}的通項公式為          ,

n階楊輝三角中共有           個數(shù);

(2)第k行各數(shù)的和是;

(3)n階楊輝三角的所有數(shù)的和是;

(4)將第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除,則整數(shù)p一定為(   )

A.奇數(shù)                B.質(zhì)數(shù)              C.非偶數(shù)                D.合數(shù)

(6)在第3斜列中,前5個數(shù)依次為1、3、6、10、15;第4斜列中,第5個數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實上,一般地有這樣的結(jié)論:

第m斜列中(從右上到左下)前k個數(shù)之和,一定等于第m+1斜列中第k個數(shù).

試用含有m、k(m、k∈N*)的數(shù)學公式表示上述結(jié)論并證明其正確性.

數(shù)學公式為                   .

證明:                        .

用數(shù)學歸納法證明1+≤1+++…+≤+n(n∈N*).

已知數(shù)列,,,…,,…,計算S₁,S₂,S₃,S₄,根據(jù)計算結(jié)果,猜想S_n的表達式,并用數(shù)學歸納法進行證明.

求證:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a-1整除(n∈N*).

用數(shù)學歸納法證明2²+4²+6²+…+(2n)²=n(n+1)(2n+1).

觀察下列式子:1+＜,1++＜,1+++＜,…,則可以猜想其結(jié)論為             .