Question

如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=,AB=a,在△ABC內(nèi)作一系列的正方形,求所有這些正方形的面積和S.

Answer 1

分析：這個(gè)題目的關(guān)鍵點(diǎn)是每一個(gè)小三角形都相似,據(jù)此可以寫出S_n與a_n的關(guān)系式,經(jīng)過化簡(jiǎn),再求極限.

解： 設(shè)第n個(gè)正方形的邊長為an,則由三角形相似,可得(其中S_n=a₁+a₂+…+a_n).

因?yàn)?I >AB=a,tanC=,所以BC=2a.

于是即S_n=2a-2a_n.

當(dāng)n≥2時(shí),有a_n=S_n-S_n-1=-2a_n+2a_n-1,

即3a_n=2a_n-1,

因?yàn)閠anC=,所以AB=a=a₁+a₁.

所以a₁²=

所以數(shù)列{a_n²}是首項(xiàng)為,公比為的無窮等比數(shù)列，

S=(S₁+S₂+…+S_n)=

點(diǎn)評(píng)：解決與無窮數(shù)列各項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是由題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公比，求出前n項(xiàng)和，再求極限.對(duì)于形如qⁿ的極限，當(dāng)|q|<1時(shí)，可直接使用qⁿ=0這一運(yùn)算法則；當(dāng)|q|>1時(shí)，可將分子、分母同除以增長“最快”的項(xiàng),先轉(zhuǎn)化形式,再求極限.