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15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l：x-y+2=0與以右焦點F為圓心，橢圓E的長半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在直線l₀，使得直線l₀和橢圓E相切，切點在第一象限，且截圓F所得弦長為4？若存在，試求l₀的直線方程，若不存在，請說明理由．

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心為O，右頂點為A，在線段OA上任意選定一點M（m，0）（0＜m＜2），過點M作與x軸垂直的直線交C于P，Q兩點．
（Ⅰ）若橢圓C的長半軸為2，離心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（�。┣髾E圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ⅱ）若m=1，點N在OM的延長線上，且|OM|，|OA|，|ON|成等比數(shù)列，試證明直線PN與C相切；
（Ⅱ）試猜想過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點G（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）的切線方程，再加以證明．

13．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）若A，B，C為橢圓上的三點（A，B不在坐標(biāo)軸上），滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}$，直線OA，OB分別交直線l：x=3于M，N兩點，設(shè)直線OA，OB的斜率為k₁，k₂．證明：k₁•k₂為定值，并求線段MN長度的最小值．

12．設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，A（4，0），B（0，2）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，求k的值；
（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值．

11．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

A．

$\frac{π}{6}$

B．

$\frac{π}{3}$

C．

$\frac{π}{2}$

D．

$\frac{2π}{3}$

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（-1，0）、B（1，0），動點C滿足條件：△ABC的周長為2+2$\sqrt{2}$．記動點C的軌跡為曲線了．
（Ⅰ）求曲線T的方程；
（Ⅱ）已知點M（ $\sqrt{2}$，0），N（0，1），是否存在經(jīng)過點（0，$\sqrt{2}$）且斜率為k的直線l與曲線T有兩個不同的交點P和Q，使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{MN}$共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

9．在直角坐標(biāo)系中，已知點F（0，1），直線l：y=-1，點H是直線l上任意一點，過點H垂直于l的直線交線段FH的中垂線于點M．記點M的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）若A，B為曲線Γ上異于原點的任意兩點，過A，B分別作曲線T的兩條切線l₁、l₂，l₁、l₂相交于點P，且與x軸分別交于E、F，設(shè)△PEF與△OAB的面積分別為S₁、S₂．試問：是否存在實數(shù)λ使得S₁=λS₂？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的下頂點為P（0，-1），P到焦點的距離為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）設(shè)Q是橢圓上的動點，求|PQ|的最大值；
（Ⅱ）若直線l與圓O：x²+y²=1相切，并與橢圓C交于不同的兩點A、B．當(dāng)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ，且滿足$\frac{2}{3}$≤λ≤$\frac{3}{4}$時，求△AOB面積S的取值范圍．

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁與A₁B的交點，N是B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
 （Ⅱ）求三棱錐N-A₁BC的體積．

6．已知點F（-c，0）（c＞0）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x²+y²=c²交于另一點P，且點P在拋物線y²=4cx上，則該雙曲線的離心率的平方是$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．