Question

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁與A₁B的交點，N是B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
 （Ⅱ）求三棱錐N-A₁BC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接MN，AC₁，然后由三角形的中位線定理得到MN∥AC₁，再由線面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）把三棱錐N-A₁BC的體積轉(zhuǎn)化為A₁-BNC的體積求解．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，

連接MN，AC₁，∵M(jìn)、N分別為AB₁、B₁C₁ 的中點，
∴MN∥AC₁，
∵M(jìn)N?面AA₁C₁C，AC₁?面AA₁C₁C，
∴MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴四邊形BB₁C₁C為矩形，
N為B₁C₁的中點，則${S}_{△BNC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
又AC⊥BC，AC⊥CC₁，∴AC⊥面BB₁C₁C，
則${V}_{N-{A}_{1}BC}={V}_{{A}_{1}-BNC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BNC}•{A}_{1}{C}_{1}=\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．