Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的下頂點為P（0，-1），P到焦點的距離為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）設Q是橢圓上的動點，求|PQ|的最大值；
（Ⅱ）若直線l與圓O：x²+y²=1相切，并與橢圓C交于不同的兩點A、B．當$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ，且滿足$\frac{2}{3}$≤λ≤$\frac{3}{4}$時，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的下頂點為P（0，-1），P到焦點的距離為$\sqrt{2}$，可得a，b，可求橢圓的方程，再求出|PQ|的最大值；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則設直線l的方程為x=my+n與圓x²+y²=1相切，得n²=m²+1，由x=my+n代入橢圓方程，利用λ=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$，求出S_△AOB=$\sqrt{2}$•$\sqrt{λ（1-λ）}$，再由$\frac{2}{3}$≤λ≤$\frac{3}{4}$時，求△AOB面積S的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的下頂點為P（0，-1），P到焦點的距離為$\sqrt{2}$
∴b=1，a=2，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$…（2分）
設Q（x，y），
|PQ|=$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}$=$\sqrt{-（y-1）^{2}+4}$（-1≤y≤1）．
∴當y=1時，|PQ|的最大值為2．                …（5分）
（2）依題結合圖形知的斜率不可能為零，設直線l的方程為x=my+n（m∈R）．
∵直線l即x-my-n=0與圓O：x²+y²=1相切，
∴有：$\frac{|n|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=1得n²=m²+1．…（6分）
又∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2=0}\end{array}\right.$
消去整理得（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，
由韋達定理得y₁+y₂=-$\frac{2mn}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-2}{{m}^{2}+2}$．
其判別式△=8（m²-n²+2）=8，
∵λ=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$．…（9分）
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|sin∠AOB
=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$|n（y₂-y₁）|=$\frac{1}{2}|n|×\frac{\sqrt{△}}{{m}^{2}+2}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}•\frac{1}{{m}^{2}+2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{λ（1-λ）}$，
∵$\frac{2}{3}$≤λ≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{4}$≤S_△AOB≤$\frac{2}{3}$．…（12分）

點評 本題考查圓錐曲線的性質和綜合應用，解題時要注意向量的數量積公式、點到直線的距離公式的靈活運用，屬于中檔題．