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10．如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2$\sqrt{3}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在過M（0，2）的直線與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0），其中點(diǎn)P在x軸上的射影為點(diǎn)N，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，求△PQN面積的最大值．

8．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M、N是直線l上的兩點(diǎn)F₁、F₂是橢圓的左右焦點(diǎn)，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l，求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

7．設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0），直線AC，BC相交于點(diǎn)C，且它們的斜率之積是-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（常數(shù)a，b為正實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q為軌跡E上的動(dòng)點(diǎn)，且OP⊥OQ，求$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$的值．

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y²=8$\sqrt{6}$x的焦點(diǎn)重合，且橢圓C的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線x=t（t＞0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓M，若圓M與y軸相切，求直線x-$\sqrt{3}$y+1=0被圓M所截得的弦長(zhǎng)．

5．已知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，短半軸長(zhǎng)為$\sqrt{3}$；斜率為$\frac{a}$的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸相交于P，Q兩點(diǎn)（如圖所示）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試探究$\frac{|AP|}{|BQ|}$是否為定值？若是定值，試求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．
（i）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k₁，k₂，證明存在常數(shù)λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面積的最大值．

3．如圖已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，設(shè)A（0，b），若△AF₁F₂為正三角形且周長(zhǎng)為6．
（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知垂直于x軸的直線交橢圓G于不同的兩點(diǎn)B，C，且A₁，A₂分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，設(shè)直線A₁C與A₂B交于點(diǎn)P（x₀，y₀），求證：點(diǎn)P（x₀，y₀）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作斜率為$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$的直線l，設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

2．如圖已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，設(shè)A（0，b），若△AF₁F₂為正三角形且周長(zhǎng)為6．
（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知垂直于x軸的直線交橢圓G于不同的兩B，C，且A₁，A₂分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，設(shè)直線A₁C與A₂B交于點(diǎn)P（x₀，y₀），求點(diǎn)P（x₀，y₀）的軌跡方程；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作斜率為$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$的直線l，設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

1．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，求直線l的方程．