Question

1．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為$\frac{1}{2}$，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)直線l方程為y=kx+1，代入橢圓方程，由$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，得x₁=-2x₂，利用韋達(dá)定理，化簡求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，…（1分）
∴a=2，b=$\sqrt{3}$                                      …（3分）
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．                              …（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)k不存在時，直線方程為x=0，不符合題意．             …（5分）
當(dāng)k存在時，設(shè)直線方程為y=kx+1，
代入橢圓方程，消去y，得：（3+4k²）x²+8kx-8=0，且△＞0，…（6分）
x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$①，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$②…（8分）
若$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，則x₁=-2x₂，③…（9分）
①②③，可得k=±$\frac{1}{2}$．…（13分）
所求直線方程為y=$±\frac{1}{2}$x+1．即x-2y+2=0或x+2y-2=0                         …（14分）

點(diǎn)評 本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可解．