Question

5．已知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，短半軸長為$\sqrt{3}$；斜率為$\frac{a}$的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，與x軸，y軸相交于P，Q兩點（如圖所示）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）試探究$\frac{|AP|}{|BQ|}$是否為定值？若是定值，試求出該定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，得b=$\sqrt{3}$，所以a²-c²=3，又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得，a=2c求得橢圓方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x+n$，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，利用中點公式求的所需證明結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得b=$\sqrt{3}$，所以a²-c²=3，①，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得，a=2c．②
由①②得a=2．所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（Ⅱ）①當直線l過原點時，由橢圓得對稱性，可知，|AP|=|BQ|，即$\frac{|AP|}{|BQ|}=1$
以下給出具體證明過程：
由（Ⅰ）得$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故設直線l的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x+n$
令y=0，得x=$-\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，故P（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}n，0$）；
令x=0，得y=n，故Q（0，n）
故PQ中點橫坐標為$-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$
消去y，得3x²+2$\sqrt{3}$nx+2n²-6=0
令△=12n²-12（2n²-6）＞0，得$-\sqrt{6}＜n＜\sqrt{6}$
當$-\sqrt{6}＜n＜\sqrt{6}$時，直線l與橢圓C相交于A，B
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
所以線段AB的中點橫坐標為$-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
又因為線段PQ的中點的橫坐標為$-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
所以$\frac{|AP|}{|BQ|}=1$
綜合①②可知，$\frac{|AP|}{|BQ|}$為定值，且定值為1

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬難題．在高考中常作為壓軸題目．