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9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，k_OA•k_OB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，判斷△AOB的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，說(shuō)明理由．

8．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若不過(guò)點(diǎn)M的直線l：y=x+m交橢圓于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)直線MA、MB與x軸能否圍成等腰三角形？

7．已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，坐標(biāo)原點(diǎn)O到過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

6．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{3}$），點(diǎn)F₂在線段PF₁的垂直平分線上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)l₁，l₂是過(guò)點(diǎn)G（$\frac{3}{2}$，0）且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A，B兩點(diǎn)，l₂交E于C，D兩點(diǎn)，求l₁的斜率k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．證明：直線MN恒過(guò)一定點(diǎn)．

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線6x+y-3=0平行，導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[-2，$\sqrt{3}$]上的最大值和最小值．

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，則|PF₁|•|PF₂|的值為（　�。�

A．

48

B．

24

C．

36

D．

25

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓左右焦點(diǎn)，A為橢圓的短軸端點(diǎn)且|AF₁|=$\sqrt{6}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)F₂作直線l角橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求△PQF₁的面積的最大值．

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+2x-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=4，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零點(diǎn)x₀，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若a∈（-$\frac{1}{2}$，0），設(shè)g（x）=a（1-x）²-2x-1-ln（1-x），求證：g（x）在（0，1）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)x₁，且對(duì)（Ⅱ）中的x₀，滿足x₀+x₁＞1．

1．如圖，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于F．
（1）求：$\overrightarrow{DF}$．
（2）求∠BAC的余弦值．

20．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（其中c²+b²=a²）上存在點(diǎn)P，使線段PF₁的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₂，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

A．

（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

B．

（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

C．

[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）

D．

[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）