Question

8．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若不過(guò)點(diǎn)M的直線l：y=x+m交橢圓于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)直線MA、MB與x軸能否圍成等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由離心率的值及橢圓過(guò)點(diǎn)（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍，可得到兩根之和、兩根之積，設(shè)直線MA，MB斜率分別為k₁和k₂，化簡(jiǎn)k₁+k₂ 的結(jié)果等于0，即說(shuō)明MB與x軸所圍的三角形為等腰三角形．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，因?yàn)閑=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以a²=4b²，
又橢圓過(guò)點(diǎn)M（4，1），所以$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，解得b²=5，a²=20，
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$（5分）
（2）將y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
再根據(jù)△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，求得5＞m＞-5．
設(shè)直線MA，MB斜率分別為k₁和k₂，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$．
而此分式的分子等于（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=$\frac{2（4{m}^{2}-20）}{5}$-$\frac{8m（m-5）}{5}$-8（m-1）=0，可得k₁+k₂=0，
因此MA，MB與x軸所圍的三角形為等腰三角形．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．