Question

7．已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，坐標原點O到過右焦點F且斜率為1的直線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設過右焦點F且與坐標軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，在線段OF上是否存在點M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義及性質、點到直線的距離公式即可求出；
（2）若|MQ|=|MP|，把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關系即可得出．

解答 解：（1）由題意設此橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，過右焦點F且斜率為1的直線的方程為：y=x-c，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，∴b=1，∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）假設存在點M（m，0）（0＜m＜1）滿足條件，使得|MP|=|MQ|，
因為直線與x軸不垂直，
所以直線l的方程可設為y=k（x-1）（k≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
代入橢圓方程可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
由△＞0恒成立，∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．（*）
∵|MQ|=|MP|，
∴$\sqrt{（{x}_{2}-m）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-m）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
化為（1+k²）（x₁+x₂）-2m-2k²=0，
把（*）代入上式得（1+k²）×$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2m-2k²=0，
化為m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
∵k²＞0，∴0＜m＜$\frac{1}{2}$．

點評 熟練掌握橢圓的定義及性質、點到直線的距離公式、菱形的性質、直線與橢圓的相交問題的解題模式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．