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（本小題滿分14分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的菱形，．在面中，，，為的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面交于點(diǎn)．

（1）求證：為中點(diǎn)；

（2）求證：平面平面．

（本小題滿分14分）某商場(chǎng)為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為的圓形包裝紙包裝．要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點(diǎn)，如圖所示．設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，體積為．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，的最大值是多少？并求此時(shí)的值．

（本小題滿分16分）已知橢圓的離心率為，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足．

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：為定值；

（3）是否存在定圓，使得直線繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，恒與該定圓相切，若存在，求出該定圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

（本小題滿分16分）

已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且滿足，．

（1）若，．

①當(dāng)時(shí)，求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

②若數(shù)列是唯一的，求的值；

（2）若，，均為正整數(shù)，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的公差的最大值．

（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)滿足？如存在，求的極大值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（選修4－1：幾何證明選講）

如圖，AD是∠BAC的平分線，圓O過(guò)點(diǎn)A且與邊BC相切于點(diǎn)D，與邊AB、AC分別交于點(diǎn)E、F，求證：EF∥BC．

（選修4－2：矩陣與變換）

已知，求矩陣．

（選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）

在極坐標(biāo)系中，圓是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）求圓被直線所截得的弦長(zhǎng)．

（選修4－5：不等式選講）

設(shè)正數(shù)滿足，求的最小值．

（本小題滿分10分）直三棱柱中，已知，，，. 是的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.