Question

20．若關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，對任意的t∈[1，2]，函數(shù)f（x）=ax³+（m+$\frac{1}{2}$）x²-cx在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是（　�。�

• A． -$\frac{14}{3}$＜m＜-3
• B． -3＜m＜-1
• C． -$\frac{14}{3}$＜m＜-1
• D． -3＜m＜0

Answer 1

分析 先由根與系數(shù)的關(guān)系求出a、c的值，再求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）在（2，3）上有零點(diǎn)，f′（2）f′（3）＜0，解不等式可得m的取值范圍．

解答 解：∵關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，
∴-a=-2+1且-c=-2×1，∴a=1，c=2，
∴f（x）=ax³+（m+$\frac{1}{2}$）x²-cx=x³+（m+$\frac{1}{2}$）x²-2x，
求導(dǎo)得f′（x）=3x²+（2m+1）x-2；
又∵對于任意的t∈[1，2]，f（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）在（2，3）上有零點(diǎn)，
∴f′（2）f′（3）＜0，
即[10+2（2m+1）][25+3（2m+1）]＜0，
整理可得（m+3）（3m+14）＜0，
解得-$\frac{14}{3}$＜m＜-3，
∴m的取什值范圍是-$\frac{14}{3}$＜m＜-3．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查一元二次不等式的解法，涉及函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在性，屬中檔題．