Question

已知雙曲線x²-

y2

3

=1．
（1）若橢圓C與該雙曲線共焦點，且有一交點p（2，3），求橢圓C方程；
（2）設（1）中橢圓C的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，直線l為橢圓C的右準線，N為l上的一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M．
①若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
②設過A，F(xiàn)，N三點的圓與y軸交于P、Q兩點，當線段PQ的中點為（0，9）時，求這個圓的方程．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設出橢圓方程，利用橢圓C與該雙曲線共焦點，且有一交點P（2，3），建立方程組，求出幾何量，即可得出橢圓的標準方程；
（2）①先求出M的坐標，再利用向量的數(shù)量積公式，即可求∠AMB的余弦值；
②設過A，F(xiàn)，N三點的圓的方程，代入點的坐標，利用圓與y軸交于P、Q兩點，線段PQ的中點為（0，9），結(jié)合韋達定理，即可求這個圓的方程．

解答： 解：（1）由題意，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵雙曲線焦點為（±2，0），橢圓C與該雙曲線共焦點，且有一交點P（2，3），
∴

a2-b2=4 4 a2 + 9 b2 =1

，∴a²=16，b²=12．
故橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）①由已知，A（-4，0），B（4，0），F(xiàn)（2，0），直線l的方程為x=8．
設N（8，t）（t＞0），則
∵AM=MN，∴M（2，

t

2

）
由點M在橢圓上，得t=6，故所求的點M的坐標為M（2，3）．
∴

MA

=（-6，-3），

MB

=（2，-3），∴cos∠AMB=

MA • MB

| MA || MB |

=

-12+9

36+9 • 4+9

=-

65

65

．
②設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A、F、N三點坐標代入，得

16-4D+F=0 4+2D+F=0 64+t2+8D+Et+F=0

，
∴D=2，E=-t-

72

t

，F(xiàn)=-8，
∴圓的方程為x2+y2+2x-(t+

72

t

)y-8=0，令x=0，得y2-(t+

72

t

)y-8=0，
設P（0，y₁），Q（0，y₂），則y1+y2=t+

72

t

，
∵線段PQ的中點為（0，9），
∴t+

72

t

=18，
∴圓的方程為x²+y²+2x-18y-8=0．

點評：本題考查橢圓的方程，考查圓的方程，考查向量知識的應用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．